Theorem addclnq 7316

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7289	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		oveq1 5849	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	2	eleq1d 2235	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4		oveq2 5850	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q 𝐵))
5	4	eleq1d 2235	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6		addpipqqs 7311	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7		mulclpi 7269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8		mulclpi 7269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
9		addclpi 7268	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
10	7, 8, 9	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
11	10	an42s 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12		mulclpi 7269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
14	11, 13	jca 304	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15		opelxpi 4636	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
16		enqex 7301	. . . . . 6 ⊢ ~Q ∈ V
17	16	ecelqsi 6555	. . . . 5 ⊢ (⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
18	14, 15, 17	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
19	6, 18	eqeltrd 2243	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 6589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
21	20, 1	eleqtrrdi 2260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579   × cxp 4602  (class class class)co 5842  [cec 6499   / cqs 6500  Ncnpi 7213   +_N cpli 7214   ·_N cmi 7215   ~_Q ceq 7220  Qcnq 7221   +_Q cplq 7223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-plpq 7285  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7348  halfnqq  7351  ltbtwnnqq  7356  prarloclemcalc  7443  addnqprl  7470  addnqpru  7471  addlocprlemeqgt  7473  addlocprlemgt  7475  addlocprlem  7476  addclpr  7478  plpvlu  7479  dmplp  7481  addnqprlemrl  7498  addnqprlemru  7499  addnqprlemfl  7500  addnqprlemfu  7501  addnqpr  7502  addassprg  7520  distrlem1prl  7523  distrlem1pru  7524  distrlem4prl  7525  distrlem4pru  7526  distrlem5prl  7527  distrlem5pru  7528  ltaddpr  7538  ltexprlemloc  7548  ltexprlemfl  7550  ltexprlemrl  7551  ltexprlemfu  7552  ltexprlemru  7553  addcanprleml  7555  addcanprlemu  7556  recexprlemm  7565  aptiprleml  7580  aptiprlemu  7581  caucvgprlemcanl  7585  cauappcvgprlemm  7586  cauappcvgprlemdisj  7592  cauappcvgprlemloc  7593  cauappcvgprlemladdfu  7595  cauappcvgprlemladdfl  7596  cauappcvgprlemladdru  7597  cauappcvgprlemladdrl  7598  cauappcvgprlem1  7600  cauappcvgprlem2  7601  caucvgprlemnkj  7607  caucvgprlemnbj  7608  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlemladdfu  7618  caucvgprlemladdrl  7619  caucvgprlem2  7621  caucvgprprlemloccalc  7625  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemmu  7636  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemloc  7644  suplocexprlemmu  7659