ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq GIF version

Theorem addclnq 7388
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q)

Proof of Theorem addclnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7361 . . 3 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 oveq1 5895 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
32eleq1d 2256 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ) โ†” (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q )))
4 oveq2 5896 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = (๐ด +Q ๐ต))
54eleq1d 2256 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ) โ†” (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q )))
6 addpipqqs 7383 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
7 mulclpi 7341 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
8 mulclpi 7341 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
9 addclpi 7340 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
107, 8, 9syl2an 289 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
1110an42s 589 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
12 mulclpi 7341 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1312ad2ant2l 508 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1411, 13jca 306 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
15 opelxpi 4670 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
16 enqex 7373 . . . . . 6 ~Q โˆˆ V
1716ecelqsi 6603 . . . . 5 (โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
1814, 15, 173syl 17 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
196, 18eqeltrd 2264 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
201, 3, 5, 192ecoptocl 6637 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
2120, 1eleqtrrdi 2281 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607   ร— cxp 4636  (class class class)co 5888  [cec 6547   / cqs 6548  Ncnpi 7285   +N cpli 7286   ยทN cmi 7287   ~Q ceq 7292  Qcnq 7293   +Q cplq 7295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-plpq 7357  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7420  halfnqq  7423  ltbtwnnqq  7428  prarloclemcalc  7515  addnqprl  7542  addnqpru  7543  addlocprlemeqgt  7545  addlocprlemgt  7547  addlocprlem  7548  addclpr  7550  plpvlu  7551  dmplp  7553  addnqprlemrl  7570  addnqprlemru  7571  addnqprlemfl  7572  addnqprlemfu  7573  addnqpr  7574  addassprg  7592  distrlem1prl  7595  distrlem1pru  7596  distrlem4prl  7597  distrlem4pru  7598  distrlem5prl  7599  distrlem5pru  7600  ltaddpr  7610  ltexprlemloc  7620  ltexprlemfl  7622  ltexprlemrl  7623  ltexprlemfu  7624  ltexprlemru  7625  addcanprleml  7627  addcanprlemu  7628  recexprlemm  7637  aptiprleml  7652  aptiprlemu  7653  caucvgprlemcanl  7657  cauappcvgprlemm  7658  cauappcvgprlemdisj  7664  cauappcvgprlemloc  7665  cauappcvgprlemladdfu  7667  cauappcvgprlemladdfl  7668  cauappcvgprlemladdru  7669  cauappcvgprlemladdrl  7670  cauappcvgprlem1  7672  cauappcvgprlem2  7673  caucvgprlemnkj  7679  caucvgprlemnbj  7680  caucvgprlemm  7681  caucvgprlemloc  7688  caucvgprlemladdfu  7690  caucvgprlemladdrl  7691  caucvgprlem2  7693  caucvgprprlemloccalc  7697  caucvgprprlemml  7707  caucvgprprlemmu  7708  caucvgprprlemopl  7710  caucvgprprlemloc  7716  suplocexprlemmu  7731
  Copyright terms: Public domain W3C validator