ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq GIF version

Theorem addclnq 7373
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q)

Proof of Theorem addclnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7346 . . 3 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 oveq1 5881 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
32eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ) โ†” (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q )))
4 oveq2 5882 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = (๐ด +Q ๐ต))
54eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ) โ†” (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q )))
6 addpipqqs 7368 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
7 mulclpi 7326 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
8 mulclpi 7326 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
9 addclpi 7325 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
107, 8, 9syl2an 289 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
1110an42s 589 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
12 mulclpi 7326 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1312ad2ant2l 508 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1411, 13jca 306 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
15 opelxpi 4658 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
16 enqex 7358 . . . . . 6 ~Q โˆˆ V
1716ecelqsi 6588 . . . . 5 (โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
1814, 15, 173syl 17 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
196, 18eqeltrd 2254 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
201, 3, 5, 192ecoptocl 6622 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
2120, 1eleqtrrdi 2271 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3595   ร— cxp 4624  (class class class)co 5874  [cec 6532   / cqs 6533  Ncnpi 7270   +N cpli 7271   ยทN cmi 7272   ~Q ceq 7277  Qcnq 7278   +Q cplq 7280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-plpq 7342  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7405  halfnqq  7408  ltbtwnnqq  7413  prarloclemcalc  7500  addnqprl  7527  addnqpru  7528  addlocprlemeqgt  7530  addlocprlemgt  7532  addlocprlem  7533  addclpr  7535  plpvlu  7536  dmplp  7538  addnqprlemrl  7555  addnqprlemru  7556  addnqprlemfl  7557  addnqprlemfu  7558  addnqpr  7559  addassprg  7577  distrlem1prl  7580  distrlem1pru  7581  distrlem4prl  7582  distrlem4pru  7583  distrlem5prl  7584  distrlem5pru  7585  ltaddpr  7595  ltexprlemloc  7605  ltexprlemfl  7607  ltexprlemrl  7608  ltexprlemfu  7609  ltexprlemru  7610  addcanprleml  7612  addcanprlemu  7613  recexprlemm  7622  aptiprleml  7637  aptiprlemu  7638  caucvgprlemcanl  7642  cauappcvgprlemm  7643  cauappcvgprlemdisj  7649  cauappcvgprlemloc  7650  cauappcvgprlemladdfu  7652  cauappcvgprlemladdfl  7653  cauappcvgprlemladdru  7654  cauappcvgprlemladdrl  7655  cauappcvgprlem1  7657  cauappcvgprlem2  7658  caucvgprlemnkj  7664  caucvgprlemnbj  7665  caucvgprlemm  7666  caucvgprlemloc  7673  caucvgprlemladdfu  7675  caucvgprlemladdrl  7676  caucvgprlem2  7678  caucvgprprlemloccalc  7682  caucvgprprlemml  7692  caucvgprprlemmu  7693  caucvgprprlemopl  7695  caucvgprprlemloc  7701  suplocexprlemmu  7716
  Copyright terms: Public domain W3C validator