ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq GIF version

Theorem addclnq 7190
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7163 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5781 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
32eleq1d 2208 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4 oveq2 5782 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q 𝐵))
54eleq1d 2208 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6 addpipqqs 7185 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7 mulclpi 7143 . . . . . . . 8 ((𝑥N𝑤N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8 mulclpi 7143 . . . . . . . 8 ((𝑦N𝑧N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
9 addclpi 7142 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
107, 8, 9syl2an 287 . . . . . . 7 (((𝑥N𝑤N) ∧ (𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
1110an42s 578 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12 mulclpi 7143 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1312ad2ant2l 499 . . . . . 6 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
1411, 13jca 304 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15 opelxpi 4571 . . . . 5 ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
16 enqex 7175 . . . . . 6 ~Q ∈ V
1716ecelqsi 6483 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1814, 15, 173syl 17 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
196, 18eqeltrd 2216 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
201, 3, 5, 192ecoptocl 6517 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
2120, 1eleqtrrdi 2233 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   × cxp 4537  (class class class)co 5774  [cec 6427   / cqs 6428  Ncnpi 7087   +N cpli 7088   ·N cmi 7089   ~Q ceq 7094  Qcnq 7095   +Q cplq 7097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-plpq 7159  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7222  halfnqq  7225  ltbtwnnqq  7230  prarloclemcalc  7317  addnqprl  7344  addnqpru  7345  addlocprlemeqgt  7347  addlocprlemgt  7349  addlocprlem  7350  addclpr  7352  plpvlu  7353  dmplp  7355  addnqprlemrl  7372  addnqprlemru  7373  addnqprlemfl  7374  addnqprlemfu  7375  addnqpr  7376  addassprg  7394  distrlem1prl  7397  distrlem1pru  7398  distrlem4prl  7399  distrlem4pru  7400  distrlem5prl  7401  distrlem5pru  7402  ltaddpr  7412  ltexprlemloc  7422  ltexprlemfl  7424  ltexprlemrl  7425  ltexprlemfu  7426  ltexprlemru  7427  addcanprleml  7429  addcanprlemu  7430  recexprlemm  7439  aptiprleml  7454  aptiprlemu  7455  caucvgprlemcanl  7459  cauappcvgprlemm  7460  cauappcvgprlemdisj  7466  cauappcvgprlemloc  7467  cauappcvgprlemladdfu  7469  cauappcvgprlemladdfl  7470  cauappcvgprlemladdru  7471  cauappcvgprlemladdrl  7472  cauappcvgprlem1  7474  cauappcvgprlem2  7475  caucvgprlemnkj  7481  caucvgprlemnbj  7482  caucvgprlemm  7483  caucvgprlemloc  7490  caucvgprlemladdfu  7492  caucvgprlemladdrl  7493  caucvgprlem2  7495  caucvgprprlemloccalc  7499  caucvgprprlemml  7509  caucvgprprlemmu  7510  caucvgprprlemopl  7512  caucvgprprlemloc  7518  suplocexprlemmu  7533
  Copyright terms: Public domain W3C validator