ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclnq GIF version

Theorem addclnq 7374
Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q)

Proof of Theorem addclnq
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7347 . . 3 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 oveq1 5882 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
32eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ) โ†” (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q )))
4 oveq2 5883 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = (๐ด +Q ๐ต))
54eleq1d 2246 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ) โ†” (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q )))
6 addpipqqs 7369 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q )
7 mulclpi 7327 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
8 mulclpi 7327 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N)
9 addclpi 7326 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
107, 8, 9syl2an 289 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
1110an42s 589 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N)
12 mulclpi 7327 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1312ad2ant2l 508 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1411, 13jca 306 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
15 opelxpi 4659 . . . . 5 ((((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)) โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
16 enqex 7359 . . . . . 6 ~Q โˆˆ V
1716ecelqsi 6589 . . . . 5 (โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
1814, 15, 173syl 17 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ค) +N (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง)), (๐‘ฆ ยทN ๐‘ค)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
196, 18eqeltrd 2254 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
201, 3, 5, 192ecoptocl 6623 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
2120, 1eleqtrrdi 2271 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596   ร— cxp 4625  (class class class)co 5875  [cec 6533   / cqs 6534  Ncnpi 7271   +N cpli 7272   ยทN cmi 7273   ~Q ceq 7278  Qcnq 7279   +Q cplq 7281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-plpq 7343  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7406  halfnqq  7409  ltbtwnnqq  7414  prarloclemcalc  7501  addnqprl  7528  addnqpru  7529  addlocprlemeqgt  7531  addlocprlemgt  7533  addlocprlem  7534  addclpr  7536  plpvlu  7537  dmplp  7539  addnqprlemrl  7556  addnqprlemru  7557  addnqprlemfl  7558  addnqprlemfu  7559  addnqpr  7560  addassprg  7578  distrlem1prl  7581  distrlem1pru  7582  distrlem4prl  7583  distrlem4pru  7584  distrlem5prl  7585  distrlem5pru  7586  ltaddpr  7596  ltexprlemloc  7606  ltexprlemfl  7608  ltexprlemrl  7609  ltexprlemfu  7610  ltexprlemru  7611  addcanprleml  7613  addcanprlemu  7614  recexprlemm  7623  aptiprleml  7638  aptiprlemu  7639  caucvgprlemcanl  7643  cauappcvgprlemm  7644  cauappcvgprlemdisj  7650  cauappcvgprlemloc  7651  cauappcvgprlemladdfu  7653  cauappcvgprlemladdfl  7654  cauappcvgprlemladdru  7655  cauappcvgprlemladdrl  7656  cauappcvgprlem1  7658  cauappcvgprlem2  7659  caucvgprlemnkj  7665  caucvgprlemnbj  7666  caucvgprlemm  7667  caucvgprlemloc  7674  caucvgprlemladdfu  7676  caucvgprlemladdrl  7677  caucvgprlem2  7679  caucvgprprlemloccalc  7683  caucvgprprlemml  7693  caucvgprprlemmu  7694  caucvgprprlemopl  7696  caucvgprprlemloc  7702  suplocexprlemmu  7717
  Copyright terms: Public domain W3C validator