Theorem addclnq 7495

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem addclnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7468	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		oveq1 5958	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	2	eleq1d 2275	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4		oveq2 5959	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 +Q 𝐵))
5	4	eleq1d 2275	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6		addpipqqs 7490	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7		mulclpi 7448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑤) ∈ N)
8		mulclpi 7448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N)
9		addclpi 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑤) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑧) ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
11	10	an42s 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N)
12		mulclpi 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
13	12	ad2ant2l 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
14	11, 13	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
15		opelxpi 4711	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
16		enqex 7480	. . . . . 6 ⊢ ~Q ∈ V
17	16	ecelqsi 6683	. . . . 5 ⊢ (⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
18	14, 15, 17	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨((𝑥 ·N 𝑤) +N (𝑦 ·N 𝑧)), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
19	6, 18	eqeltrd 2283	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q +Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 6717	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
21	20, 1	eleqtrrdi 2300	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3637   × cxp 4677  (class class class)co 5951  [cec 6625   / cqs 6626  Ncnpi 7392   +_N cpli 7393   ·_N cmi 7394   ~_Q ceq 7399  Qcnq 7400   +_Q cplq 7402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-pli 7425  df-mi 7426  df-plpq 7464  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-plqqs 7469

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7527  halfnqq  7530  ltbtwnnqq  7535  prarloclemcalc  7622  addnqprl  7649  addnqpru  7650  addlocprlemeqgt  7652  addlocprlemgt  7654  addlocprlem  7655  addclpr  7657  plpvlu  7658  dmplp  7660  addnqprlemrl  7677  addnqprlemru  7678  addnqprlemfl  7679  addnqprlemfu  7680  addnqpr  7681  addassprg  7699  distrlem1prl  7702  distrlem1pru  7703  distrlem4prl  7704  distrlem4pru  7705  distrlem5prl  7706  distrlem5pru  7707  ltaddpr  7717  ltexprlemloc  7727  ltexprlemfl  7729  ltexprlemrl  7730  ltexprlemfu  7731  ltexprlemru  7732  addcanprleml  7734  addcanprlemu  7735  recexprlemm  7744  aptiprleml  7759  aptiprlemu  7760  caucvgprlemcanl  7764  cauappcvgprlemm  7765  cauappcvgprlemdisj  7771  cauappcvgprlemloc  7772  cauappcvgprlemladdfu  7774  cauappcvgprlemladdfl  7775  cauappcvgprlemladdru  7776  cauappcvgprlemladdrl  7777  cauappcvgprlem1  7779  cauappcvgprlem2  7780  caucvgprlemnkj  7786  caucvgprlemnbj  7787  caucvgprlemm  7788  caucvgprlemloc  7795  caucvgprlemladdfu  7797  caucvgprlemladdrl  7798  caucvgprlem2  7800  caucvgprprlemloccalc  7804  caucvgprprlemml  7814  caucvgprprlemmu  7815  caucvgprprlemopl  7817  caucvgprprlemloc  7823  suplocexprlemmu  7838