Theorem peano2uz 9817

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 9515	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1045	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 9483	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 9483	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 9028	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1307	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1306	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1203	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 9761	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 9761	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  1c1 8033   + caddc 8035   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  peano2uzs  9818  peano2uzr  9819  uzaddcl  9820  fzsplit  10286  fzssp1  10302  fzsuc  10304  fzpred  10305  fzp1ss  10308  fzp1elp1  10310  fztp  10313  fzneuz  10336  fzosplitsnm1  10455  fzofzp1  10473  fzosplitsn  10479  fzosplitpr  10480  fzostep1  10484  zsupcllemstep  10490  infssuzex  10494  frec2uzuzd  10665  frecuzrdgrrn  10671  frec2uzrdg  10672  frecuzrdgrcl  10673  frecuzrdgsuc  10677  frecuzrdgrclt  10678  frecuzrdgg  10679  frecuzrdgsuctlem  10686  frecfzen2  10690  fzfig  10693  uzsinds  10707  iseqovex  10721  seq3val  10723  seqvalcd  10724  seqf  10727  seq3p1  10728  seq3split  10751  seqsplitg  10752  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  seq3homo  10790  seq3z  10791  ser3ge0  10799  faclbnd3  11006  bcm1k  11023  seq3coll  11107  swrds1  11253  pfxccatpfx2  11322  clim2ser  11902  clim2ser2  11903  serf0  11917  fsump1  11986  fsump1i  11999  fsumparts  12036  isum1p  12058  cvgratnnlemmn  12091  mertenslemi1  12101  clim2prod  12105  clim2divap  12106  fprodntrivap  12150  fprodp1  12166  fprodabs  12182  pcfac  12928  gsumsplit1r  13486  gsumprval  13487  gsumfzconst  13933  gsumfzfsumlemm  14607  dvply2g  15496