ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2uz GIF version

Theorem peano2uz 9006
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 941 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 peano2z 8722 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
323ad2ant2 963 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4 zre 8690 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 8690 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 letrp1 8247 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
75, 6syl3an2 1206 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
84, 7syl3an1 1205 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
91, 3, 83jca 1121 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10 eluz2 8960 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
11 eluz2 8960 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
129, 10, 113imtr4i 199 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 922  wcel 1436   class class class wbr 3822  cfv 4983  (class class class)co 5615  cr 7296  1c1 7298   + caddc 7300  cle 7470  cz 8686  cuz 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955
This theorem is referenced by:  peano2uzs  9007  peano2uzr  9008  uzaddcl  9009  fzsplit  9400  fzssp1  9415  fzsuc  9416  fzpred  9417  fzp1ss  9420  fzp1elp1  9422  fztp  9425  fzneuz  9448  fzosplitsnm1  9551  fzofzp1  9569  fzosplitsn  9575  fzostep1  9579  frec2uzuzd  9740  frecuzrdgrrn  9746  frec2uzrdg  9747  frecuzrdgrcl  9748  frecuzrdgsuc  9752  frecuzrdgrclt  9753  frecuzrdgg  9754  frecuzrdgsuctlem  9761  frecfzen2  9765  fzfig  9768  uzsinds  9779  iseqovex  9790  iseqval  9791  iseqvalt  9793  iseqfclt  9797  iseqp1  9799  iseqp1t  9800  iseqoveq  9802  iseqsplit  9816  iseqhomo  9848  iseqz  9849  faclbnd3  10051  bcm1k  10068  iseqcoll  10147  clim2iser  10622  clim2iser2  10623  serif0  10636  fsump1  10701  zsupcllemstep  10847  infssuzex  10851
  Copyright terms: Public domain W3C validator