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Theorem fldiv4p1lem1div2 10090
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 8346 . . . 4 1 ≤ 1
21a1i 9 . . 3 (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3 oveq1 5781 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (𝑁 / 4) = (3 / 4))
43fveq2d 5425 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
5 3lt4 8904 . . . . . . 7 3 < 4
6 3nn0 9007 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
7 4nn 8895 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
8 divfl0 10081 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
96, 7, 8mp2an 422 . . . . . . 7 (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
105, 9mpbi 144 . . . . . 6 (⌊‘(3 / 4)) = 0
114, 10syl6eq 2188 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
1211oveq1d 5789 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 8846 . . . 4 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2188 . . 3 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
15 oveq1 5781 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
16 3m1e2 8852 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
1715, 16syl6eq 2188 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
1817oveq1d 5789 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
19 2div2e1 8864 . . . 4 (2 / 2) = 1
2018, 19syl6eq 2188 . . 3 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
212, 14, 203brtr4d 3960 . 2 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
22 uzp1 9371 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))))
23 2re 8802 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2423leidi 8259 . . . . . 6 2 ≤ 2
2524a1i 9 . . . . 5 (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
26 oveq1 5781 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 5 → (𝑁 / 4) = (5 / 4))
2726fveq2d 5425 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
28 df-5 8794 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 5784 . . . . . . . . . . 11 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
30 4cn 8810 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
31 ax-1cn 7725 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
32 4ap0 8831 . . . . . . . . . . . . 13 4 # 0
3330, 31, 30, 32divdirapi 8541 . . . . . . . . . . . 12 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
3430, 32dividapi 8517 . . . . . . . . . . . . 13 (4 / 4) = 1
3534oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . 12 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
3633, 35eqtri 2160 . . . . . . . . . . 11 ((4 + 1) / 4) = (1 + (1 / 4))
3729, 36eqtri 2160 . . . . . . . . . 10 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
3837fveq2i 5424 . . . . . . . . 9 (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
39 1re 7777 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
40 0le1 8255 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
41 4re 8809 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
42 4pos 8829 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
43 divge0 8643 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
4439, 40, 41, 42, 43mp4an 423 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 4)
45 1lt4 8906 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
46 recgt1 8667 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
4741, 42, 46mp2an 422 . . . . . . . . . . 11 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
4845, 47mpbi 144 . . . . . . . . . 10 (1 / 4) < 1
49 1z 9092 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
50 znq 9428 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
5149, 7, 50mp2an 422 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ ℚ
52 flqbi2 10076 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
5349, 51, 52mp2an 422 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
5444, 48, 53mpbir2an 926 . . . . . . . . 9 (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
5538, 54eqtri 2160 . . . . . . . 8 (⌊‘(5 / 4)) = 1
5627, 55syl6eq 2188 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
5756oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
58 1p1e2 8849 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
5957, 58syl6eq 2188 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
60 oveq1 5781 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
6130, 31, 28mvrraddi 7991 . . . . . . . 8 (5 − 1) = 4
6260, 61syl6eq 2188 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
6362oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
64 4d2e2 8892 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
6563, 64syl6eq 2188 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
6625, 59, 653brtr4d 3960 . . . 4 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
67 eluz2 9344 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
68 znq 9428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
697, 68mpan2 421 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
70 flqle 10063 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7271adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7369flqcld 10062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
7473zred 9185 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
75 zre 9070 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
7741a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
7832a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 4 # 0)
7976, 77, 78redivclapd 8606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8075, 79syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
8139a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
8274, 80, 813jca 1161 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
8382adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
84 leadd1 8204 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8583, 84syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8672, 85mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
87 div4p1lem1div2 8985 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
8875, 87sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
89 peano2re 7910 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
9074, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
91 peano2re 7910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
9280, 91syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
93 peano2rem 8041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
9493rehalfcld 8978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9575, 94syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
9690, 92, 953jca 1161 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9796adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
98 letr 7859 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9997, 98syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
10086, 88, 99mp2and 429 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
1011003adant1 999 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10267, 101sylbi 120 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
103 5p1e6 8869 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
104103fveq2i 5424 . . . . 5 (ℤ‘(5 + 1)) = (ℤ‘6)
105102, 104eleq2s 2234 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10666, 105jaoi 705 . . 3 ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10722, 106syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10821, 107jaoi 705 1 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7631  0cc0 7632  1c1 7633   + caddc 7635   < clt 7812  cle 7813  cmin 7945   # cap 8355   / cdiv 8444  cn 8732  2c2 8783  3c3 8784  4c4 8785  5c5 8786  6c6 8787  0cn0 8989  cz 9066  cuz 9338  cq 9423  cfl 10053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055
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