Theorem flodddiv4 11880

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5857	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2		2cnd 8938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3		zcn 9204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5		1cnd 7923	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		4cn 8943	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
8		4ap0 8964	. . . . . . 7 ⊢ 4 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 # 0)
10	4, 5, 7, 9	divdirapd 8733	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11		2t2e4 9019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
12	11	eqcomi 2174	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
14	13	oveq2d 5866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
15		2ap0 8958	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 # 0)
17	3, 2, 2, 16, 16	divcanap5d 8721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
18	14, 17	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
19	18	oveq1d 5865	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
20	10, 19	eqtrd 2203	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
21	1, 20	sylan9eqr 2225	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
22	21	fveq2d 5498	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
23		iftrue 3530	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
24	23	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25		1re 7906	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 8387	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27		4re 8942	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
28		4pos 8962	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
29		divge0 8776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
30	25, 26, 27, 28, 29	mp4an 425	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
31		1lt4 9039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 4
32		recgt1 8800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
33	27, 28, 32	mp2an 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
34	31, 33	mpbi 144	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) < 1
35	30, 34	pm3.2i 270	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
36		evend2 11835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
37	36	biimpac 296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
38		4nn 9028	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
39		nnrecq 9591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℚ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
41		flqbi2 10234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
42	37, 40, 41	sylancl 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
43	35, 42	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
44	24, 43	eqtr4d 2206	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
45	44	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
46		iffalse 3533	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
47	46	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48		odd2np1 11819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49		ax-1cn 7854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		2cn 8936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
51	50, 15	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
52		divcanap5 8618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
53	49, 51, 51, 52	mp3an 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
54		2t1e2 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · 1) = 2
55	54, 11	oveq12i 5862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
56	53, 55	eqtr3i 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) = (2 / 4)
57	56	oveq1i 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
58	50, 49, 6, 8	divdirapi 8673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59		2p1e3 8998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 + 1) = 3
60	59	oveq1i 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
61	57, 58, 60	3eqtr2i 2197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
63	62	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
64	63	fveq2d 5498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65		3re 8939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
66		0re 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		3pos 8959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 3
69		divge0 8776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
70	65, 68, 27, 28, 69	mp4an 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ (3 / 4)
71		3lt4 9037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 < 4
72		nnrp 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
73	38, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℝ+
74		divlt1lt 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
75	65, 73, 74	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
76	71, 75	mpbir 145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) < 1
77	70, 76	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78		3z 9228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℤ
79		znq 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℚ)
80	78, 38, 79	mp2an 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℚ
81		flqbi2 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
82	80, 81	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
83	77, 82	mpbiri 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
84	64, 83	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
85	84	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
86		oveq1 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
87	86	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
88		2z 9227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
90		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
91	89, 90	zmulcld 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
92	91	zcnd 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
93		1cnd 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
94		2cnd 8938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
95	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 # 0)
96	92, 93, 94, 95	divdirapd 8733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
97		zcn 9204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
98	97, 94, 95	divcanap3d 8699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
99	98	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
100	96, 99	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
101	87, 100	sylan9eqr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102	101	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103		halfcn 9079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	103	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
105	6, 8	recclapi 8646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
107	97, 104, 106	addassd 7929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108	107	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109	102, 108	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110	109	fveq2d 5498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111		oveq1 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112	111	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113		pncan1 8283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
114	92, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115	112, 114	sylan9eqr 2225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116	115	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
117	98	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118	116, 117	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
119	85, 110, 118	3eqtr4rd 2214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120	119	ex 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121	120	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122	121	rexlimdva 2587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
123	48, 122	sylbid 149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124	123	impcom 124	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
125	47, 124	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126	125	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
127		zeo3 11814	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
128	45, 126, 127	mpjaod 713	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
129	128	eqcomd 2176	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
130	129	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
131	22, 130	eqtrd 2203	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  ifcif 3525   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  ℝcr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764   · cmul 7766   < clt 7941   ≤ cle 7942   − cmin 8077   # cap 8487   / cdiv 8576  ℕcn 8865  2c2 8916  3c3 8917  4c4 8918  ℤcz 9199  ℚcq 9565  ℝ⁺crp 9597  ⌊cfl 10211   ∥ cdvds 11736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-q 9566  df-rp 9598  df-fl 10213  df-dvds 11737

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