Theorem flodddiv4 12118

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5932	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2		2cnd 9080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3		zcn 9348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 8064	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5		1cnd 8059	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		4cn 9085	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
8		4ap0 9106	. . . . . . 7 ⊢ 4 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 # 0)
10	4, 5, 7, 9	divdirapd 8873	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11		2t2e4 9162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
12	11	eqcomi 2200	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
14	13	oveq2d 5941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
15		2ap0 9100	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 # 0)
17	3, 2, 2, 16, 16	divcanap5d 8861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
18	14, 17	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
19	18	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
20	10, 19	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
21	1, 20	sylan9eqr 2251	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
22	21	fveq2d 5565	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
23		iftrue 3567	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25		1re 8042	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 8525	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27		4re 9084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
28		4pos 9104	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
29		divge0 8917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
30	25, 26, 27, 28, 29	mp4an 427	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
31		1lt4 9182	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 4
32		recgt1 8941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
33	27, 28, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
34	31, 33	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) < 1
35	30, 34	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
36		evend2 12071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
37	36	biimpac 298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
38		4nn 9171	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
39		nnrecq 9736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℚ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
41		flqbi2 10398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
42	37, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
43	35, 42	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
44	24, 43	eqtr4d 2232	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
45	44	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
46		iffalse 3570	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
47	46	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48		odd2np1 12055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		2cn 9078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
51	50, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
52		divcanap5 8758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
53	49, 51, 51, 52	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
54		2t1e2 9161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · 1) = 2
55	54, 11	oveq12i 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
56	53, 55	eqtr3i 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) = (2 / 4)
57	56	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
58	50, 49, 6, 8	divdirapi 8813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59		2p1e3 9141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 + 1) = 3
60	59	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
61	57, 58, 60	3eqtr2i 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
63	62	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
64	63	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65		3re 9081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
66		0re 8043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		3pos 9101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 3
69		divge0 8917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
70	65, 68, 27, 28, 69	mp4an 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ (3 / 4)
71		3lt4 9180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 < 4
72		nnrp 9755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
73	38, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℝ+
74		divlt1lt 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
75	65, 73, 74	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
76	71, 75	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) < 1
77	70, 76	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78		3z 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℤ
79		znq 9715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℚ)
80	78, 38, 79	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℚ
81		flqbi2 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
82	80, 81	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
83	77, 82	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
84	64, 83	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
85	84	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
86		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
87	86	eqcoms 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
88		2z 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
90		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
91	89, 90	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
92	91	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
93		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
94		2cnd 9080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
95	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 # 0)
96	92, 93, 94, 95	divdirapd 8873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
97		zcn 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
98	97, 94, 95	divcanap3d 8839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
99	98	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
100	96, 99	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
101	87, 100	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102	101	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103		halfcn 9222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	103	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
105	6, 8	recclapi 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
107	97, 104, 106	addassd 8066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109	102, 108	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110	109	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112	111	eqcoms 2199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113		pncan1 8420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
114	92, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115	112, 114	sylan9eqr 2251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116	115	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
117	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118	116, 117	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
119	85, 110, 118	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120	119	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121	120	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122	121	rexlimdva 2614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
123	48, 122	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124	123	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
125	47, 124	eqtrd 2229	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126	125	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
127		zeo3 12050	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
128	45, 126, 127	mpjaod 719	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
129	128	eqcomd 2202	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
130	129	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
131	22, 130	eqtrd 2229	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  ifcif 3562   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   < clt 8078   ≤ cle 8079   − cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  3c3 9059  4c4 9060  ℤcz 9343  ℚcq 9710  ℝ⁺crp 9745  ⌊cfl 10375   ∥ cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  15415