ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flodddiv4 GIF version

Theorem flodddiv4 11939
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5882 . . . 4 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1) โ†’ (๐‘ / 4) = (((2 ยท ๐‘€) + 1) / 4))
2 2cnd 8992 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3 zcn 9258 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
42, 3mulcld 7978 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5 1cnd 7973 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6 4cn 8997 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
76a1i 9 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
8 4ap0 9018 . . . . . . 7 4 # 0
98a1i 9 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 # 0)
104, 5, 7, 9divdirapd 8786 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘€) + 1) / 4) = (((2 ยท ๐‘€) / 4) + (1 / 4)))
11 2t2e4 9073 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = 4
1211eqcomi 2181 . . . . . . . . 9 4 = (2 ยท 2)
1312a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 = (2 ยท 2))
1413oveq2d 5891 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘€) / 4) = ((2 ยท ๐‘€) / (2 ยท 2)))
15 2ap0 9012 . . . . . . . . 9 2 # 0
1615a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 # 0)
173, 2, 2, 16, 16divcanap5d 8774 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘€) / (2 ยท 2)) = (๐‘€ / 2))
1814, 17eqtrd 2210 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘€) / 4) = (๐‘€ / 2))
1918oveq1d 5890 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘€) / 4) + (1 / 4)) = ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))
2010, 19eqtrd 2210 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘€) + 1) / 4) = ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))
211, 20sylan9eqr 2232 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (๐‘ / 4) = ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))
2221fveq2d 5520 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
23 iftrue 3540 . . . . . . . 8 (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘€ / 2))
2423adantr 276 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘€ / 2))
25 1re 7956 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„
26 0le1 8438 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 1
27 4re 8996 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„
28 4pos 9016 . . . . . . . . . 10 0 < 4
29 divge0 8830 . . . . . . . . . 10 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / 4))
3025, 26, 27, 28, 29mp4an 427 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค (1 / 4)
31 1lt4 9093 . . . . . . . . . 10 1 < 4
32 recgt1 8854 . . . . . . . . . . 11 ((4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4) โ†’ (1 < 4 โ†” (1 / 4) < 1))
3327, 28, 32mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (1 < 4 โ†” (1 / 4) < 1)
3431, 33mpbi 145 . . . . . . . . 9 (1 / 4) < 1
3530, 34pm3.2i 272 . . . . . . . 8 (0 โ‰ค (1 / 4) โˆง (1 / 4) < 1)
36 evend2 11894 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค))
3736biimpac 298 . . . . . . . . 9 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
38 4nn 9082 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„•
39 nnrecq 9645 . . . . . . . . . 10 (4 โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 4) โˆˆ โ„š)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) โˆˆ โ„š
41 flqbi2 10291 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (1 / 4) โˆˆ โ„š) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (๐‘€ / 2) โ†” (0 โ‰ค (1 / 4) โˆง (1 / 4) < 1)))
4237, 40, 41sylancl 413 . . . . . . . 8 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (๐‘€ / 2) โ†” (0 โ‰ค (1 / 4) โˆง (1 / 4) < 1)))
4335, 42mpbiri 168 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (๐‘€ / 2))
4424, 43eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
4544expcom 116 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
46 iffalse 3543 . . . . . . . 8 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2))
4746adantr 276 . . . . . . 7 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2))
48 odd2np1 11878 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€))
49 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 โˆˆ โ„‚
50 2cn 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โˆˆ โ„‚
5150, 15pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)
52 divcanap5 8671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)) โ†’ ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (1 / 2))
5349, 51, 51, 52mp3an 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (1 / 2)
54 2t1e2 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ยท 1) = 2
5554, 11oveq12i 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (2 / 4)
5653, 55eqtr3i 2200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) = (2 / 4)
5756oveq1i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
5850, 49, 6, 8divdirapi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59 2p1e3 9052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 + 1) = 3
6059oveq1i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6157, 58, 603eqtr2i 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6362oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (๐‘ฅ + (3 / 4)))
6463fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))))
65 3re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 โˆˆ โ„
66 0re 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„
67 3pos 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
6866, 65, 67ltleii 8060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โ‰ค 3
69 divge0 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((3 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 3) โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ 0 โ‰ค (3 / 4))
7065, 68, 27, 28, 69mp4an 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค (3 / 4)
71 3lt4 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
72 nnrp 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
7338, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 โˆˆ โ„+
74 divlt1lt 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ ((3 / 4) < 1 โ†” 3 < 4))
7565, 73, 74mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 / 4) < 1 โ†” 3 < 4)
7671, 75mpbir 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) < 1
7770, 76pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 โ‰ค (3 / 4) โˆง (3 / 4) < 1)
78 3z 9282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 โˆˆ โ„ค
79 znq 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (3 / 4) โˆˆ โ„š)
8078, 38, 79mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) โˆˆ โ„š
81 flqbi2 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (3 / 4) โˆˆ โ„š) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))) = ๐‘ฅ โ†” (0 โ‰ค (3 / 4) โˆง (3 / 4) < 1)))
8280, 81mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))) = ๐‘ฅ โ†” (0 โ‰ค (3 / 4) โˆง (3 / 4) < 1)))
8377, 82mpbiri 168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))) = ๐‘ฅ)
8464, 83eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = ๐‘ฅ)
8584adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = ๐‘ฅ)
86 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘€ = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2))
8786eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2))
88 2z 9281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โˆˆ โ„ค
8988a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
90 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
9189, 90zmulcld 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
9291zcnd 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
93 1cnd 7973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
94 2cnd 8992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9515a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 # 0)
9692, 93, 94, 95divdirapd 8786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) + (1 / 2)))
97 zcn 9258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9897, 94, 95divcanap3d 8752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) = ๐‘ฅ)
9998oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) + (1 / 2)) = (๐‘ฅ + (1 / 2)))
10096, 99eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2) = (๐‘ฅ + (1 / 2)))
10187, 100sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / 2) = (๐‘ฅ + (1 / 2)))
102101oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)) = ((๐‘ฅ + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103 halfcn 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
104103a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
1056, 8recclapi 8699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 4) โˆˆ โ„‚
106105a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 4) โˆˆ โ„‚)
10797, 104, 106addassd 7980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108107adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘ฅ + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109102, 108eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)) = (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110109fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111 oveq1 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘€ = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1))
112111eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1))
113 pncan1 8334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ))
11492, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ))
115112, 114sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ))
116115oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘ฅ) / 2))
11798adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) = ๐‘ฅ)
118116, 117eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ฅ)
11985, 110, 1183eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
120119ex 115 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
121120adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
122121rexlimdva 2594 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
12348, 122sylbid 150 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
124123impcom 125 . . . . . . 7 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
12547, 124eqtrd 2210 . . . . . 6 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
126125expcom 116 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
127 zeo3 11873 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โˆจ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€))
12845, 126, 127mpjaod 718 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
129128eqcomd 2183 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))
130129adantr 276 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))
13122, 130eqtrd 2210 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  ifcif 3535   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  3c3 8971  4c4 8972  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  โ„+crp 9653  โŒŠcfl 10268   โˆฅ cdvds 11794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-dvds 11795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator