Theorem flodddiv4 12075

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5925	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2		2cnd 9055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3		zcn 9322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 8040	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5		1cnd 8035	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		4cn 9060	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
8		4ap0 9081	. . . . . . 7 ⊢ 4 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 # 0)
10	4, 5, 7, 9	divdirapd 8848	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11		2t2e4 9136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
12	11	eqcomi 2197	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
14	13	oveq2d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
15		2ap0 9075	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
16	15	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 # 0)
17	3, 2, 2, 16, 16	divcanap5d 8836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
18	14, 17	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
19	18	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
20	10, 19	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
21	1, 20	sylan9eqr 2248	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
22	21	fveq2d 5558	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
23		iftrue 3562	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25		1re 8018	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 8500	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
27		4re 9059	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
28		4pos 9079	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 4
29		divge0 8892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
30	25, 26, 27, 28, 29	mp4an 427	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
31		1lt4 9156	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 4
32		recgt1 8916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
33	27, 28, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
34	31, 33	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) < 1
35	30, 34	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
36		evend2 12030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
37	36	biimpac 298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
38		4nn 9145	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
39		nnrecq 9710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℚ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
41		flqbi2 10360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
42	37, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
43	35, 42	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
44	24, 43	eqtr4d 2229	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
45	44	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
46		iffalse 3565	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
47	46	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48		odd2np1 12014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		2cn 9053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
51	50, 15	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
52		divcanap5 8733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
53	49, 51, 51, 52	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
54		2t1e2 9135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 · 1) = 2
55	54, 11	oveq12i 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
56	53, 55	eqtr3i 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) = (2 / 4)
57	56	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
58	50, 49, 6, 8	divdirapi 8788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59		2p1e3 9115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 + 1) = 3
60	59	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
61	57, 58, 60	3eqtr2i 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
62	61	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
63	62	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
64	63	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65		3re 9056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
66		0re 8019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		3pos 9076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 8122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 3
69		divge0 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
70	65, 68, 27, 28, 69	mp4an 427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ (3 / 4)
71		3lt4 9154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 < 4
72		nnrp 9729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
73	38, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℝ+
74		divlt1lt 9790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
75	65, 73, 74	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
76	71, 75	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) < 1
77	70, 76	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78		3z 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℤ
79		znq 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℚ)
80	78, 38, 79	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℚ
81		flqbi2 10360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
82	80, 81	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
83	77, 82	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
84	64, 83	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
85	84	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
86		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
87	86	eqcoms 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
88		2z 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℤ
89	88	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
90		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
91	89, 90	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
92	91	zcnd 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
93		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
94		2cnd 9055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
95	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 # 0)
96	92, 93, 94, 95	divdirapd 8848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
97		zcn 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
98	97, 94, 95	divcanap3d 8814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
99	98	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
100	96, 99	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
101	87, 100	sylan9eqr 2248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102	101	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103		halfcn 9196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	103	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
105	6, 8	recclapi 8761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
107	97, 104, 106	addassd 8042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109	102, 108	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110	109	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112	111	eqcoms 2196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113		pncan1 8396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
114	92, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115	112, 114	sylan9eqr 2248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116	115	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
117	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118	116, 117	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
119	85, 110, 118	3eqtr4rd 2237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120	119	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121	120	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122	121	rexlimdva 2611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
123	48, 122	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124	123	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
125	47, 124	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126	125	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
127		zeo3 12009	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
128	45, 126, 127	mpjaod 719	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
129	128	eqcomd 2199	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
130	129	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
131	22, 130	eqtrd 2226	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  ifcif 3557   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ℝ⁺crp 9719  ⌊cfl 10337   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-dvds 11931

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