ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flodddiv4 GIF version

Theorem flodddiv4 11922
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5876 . . . 4 (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2 2cnd 8981 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3 zcn 9247 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 7968 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5 1cnd 7964 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 4cn 8986 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
76a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
8 4ap0 9007 . . . . . . 7 4 # 0
98a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 4 # 0)
104, 5, 7, 9divdirapd 8775 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11 2t2e4 9062 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
1211eqcomi 2181 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
1312a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
1413oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
15 2ap0 9001 . . . . . . . . 9 2 # 0
1615a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 2 # 0)
173, 2, 2, 16, 16divcanap5d 8763 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
1814, 17eqtrd 2210 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
1918oveq1d 5884 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2010, 19eqtrd 2210 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
211, 20sylan9eqr 2232 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2221fveq2d 5515 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
23 iftrue 3539 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
2423adantr 276 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25 1re 7947 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
26 0le1 8428 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
27 4re 8985 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
28 4pos 9005 . . . . . . . . . 10 0 < 4
29 divge0 8819 . . . . . . . . . 10 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
3025, 26, 27, 28, 29mp4an 427 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 4)
31 1lt4 9082 . . . . . . . . . 10 1 < 4
32 recgt1 8843 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
3327, 28, 32mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3431, 33mpbi 145 . . . . . . . . 9 (1 / 4) < 1
3530, 34pm3.2i 272 . . . . . . . 8 (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
36 evend2 11877 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3736biimpac 298 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
38 4nn 9071 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
39 nnrecq 9634 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℚ)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℚ
41 flqbi2 10277 . . . . . . . . 9 (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4237, 40, 41sylancl 413 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4335, 42mpbiri 168 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
4424, 43eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
4544expcom 116 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
46 iffalse 3542 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
4746adantr 276 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48 odd2np1 11861 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
50 2cn 8979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
5150, 15pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
52 divcanap5 8660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
5349, 51, 51, 52mp3an 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
54 2t1e2 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) = 2
5554, 11oveq12i 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
5653, 55eqtr3i 2200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) = (2 / 4)
5756oveq1i 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
5850, 49, 6, 8divdirapi 8715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59 2p1e3 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 + 1) = 3
6059oveq1i 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6157, 58, 603eqtr2i 2204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6362oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
6463fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65 3re 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
66 0re 7948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
67 3pos 9002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
6866, 65, 67ltleii 8050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 3
69 divge0 8819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
7065, 68, 27, 28, 69mp4an 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ (3 / 4)
71 3lt4 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
72 nnrp 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7338, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℝ+
74 divlt1lt 9711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
7565, 73, 74mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
7671, 75mpbir 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) < 1
7770, 76pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78 3z 9271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℤ
79 znq 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℚ)
8078, 38, 79mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℚ
81 flqbi2 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8280, 81mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8377, 82mpbiri 168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
8464, 83eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
8584adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
86 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
8786eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
88 2z 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℤ
8988a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
90 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
9189, 90zmulcld 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
9291zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
93 1cnd 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
94 2cnd 8981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9515a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 # 0)
9692, 93, 94, 95divdirapd 8775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
97 zcn 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9897, 94, 95divcanap3d 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
9998oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
10096, 99eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
10187, 100sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102101oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103 halfcn 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 2) ∈ ℂ
104103a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1056, 8recclapi 8688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 4) ∈ ℂ
106105a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
10797, 104, 106addassd 7970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108107adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109102, 108eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110109fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112111eqcoms 2180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113 pncan1 8324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
11492, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115112, 114sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116115oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
11798adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118116, 117eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
11985, 110, 1183eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120119ex 115 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121120adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122121rexlimdva 2594 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
12348, 122sylbid 150 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124123impcom 125 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12547, 124eqtrd 2210 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126125expcom 116 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
127 zeo3 11856 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
12845, 126, 127mpjaod 718 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
129128eqcomd 2183 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
130129adantr 276 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
13122, 130eqtrd 2210 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  ifcif 3534   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  3c3 8960  4c4 8961  cz 9242  cq 9608  +crp 9640  cfl 10254  cdvds 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-dvds 11779
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator