Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flodddiv4 GIF version

Theorem flodddiv4 11642
 Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5781 . . . 4 (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2 2cnd 8805 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3 zcn 9071 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 7798 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5 1cnd 7794 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 4cn 8810 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
76a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
8 4ap0 8831 . . . . . . 7 4 # 0
98a1i 9 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 4 # 0)
104, 5, 7, 9divdirapd 8601 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11 2t2e4 8886 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
1211eqcomi 2143 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
1312a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
1413oveq2d 5790 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
15 2ap0 8825 . . . . . . . . 9 2 # 0
1615a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 2 # 0)
173, 2, 2, 16, 16divcanap5d 8589 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
1814, 17eqtrd 2172 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
1918oveq1d 5789 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2010, 19eqtrd 2172 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
211, 20sylan9eqr 2194 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2221fveq2d 5425 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
23 iftrue 3479 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
2423adantr 274 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25 1re 7777 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
26 0le1 8255 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
27 4re 8809 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
28 4pos 8829 . . . . . . . . . 10 0 < 4
29 divge0 8643 . . . . . . . . . 10 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
3025, 26, 27, 28, 29mp4an 423 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 4)
31 1lt4 8906 . . . . . . . . . 10 1 < 4
32 recgt1 8667 . . . . . . . . . . 11 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
3327, 28, 32mp2an 422 . . . . . . . . . 10 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3431, 33mpbi 144 . . . . . . . . 9 (1 / 4) < 1
3530, 34pm3.2i 270 . . . . . . . 8 (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
36 evend2 11597 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3736biimpac 296 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
38 4nn 8895 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
39 nnrecq 9449 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℚ)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℚ
41 flqbi2 10076 . . . . . . . . 9 (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4237, 40, 41sylancl 409 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4335, 42mpbiri 167 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
4424, 43eqtr4d 2175 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
4544expcom 115 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
46 iffalse 3482 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
4746adantr 274 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48 odd2np1 11581 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49 ax-1cn 7725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
50 2cn 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
5150, 15pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
52 divcanap5 8486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
5349, 51, 51, 52mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
54 2t1e2 8885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) = 2
5554, 11oveq12i 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
5653, 55eqtr3i 2162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) = (2 / 4)
5756oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
5850, 49, 6, 8divdirapi 8541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59 2p1e3 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 + 1) = 3
6059oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6157, 58, 603eqtr2i 2166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6261a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6362oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
6463fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65 3re 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
66 0re 7778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
67 3pos 8826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
6866, 65, 67ltleii 7878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 3
69 divge0 8643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
7065, 68, 27, 28, 69mp4an 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ (3 / 4)
71 3lt4 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
72 nnrp 9463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7338, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℝ+
74 divlt1lt 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
7565, 73, 74mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
7671, 75mpbir 145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) < 1
7770, 76pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78 3z 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℤ
79 znq 9428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℚ)
8078, 38, 79mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℚ
81 flqbi2 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℚ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8280, 81mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8377, 82mpbiri 167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
8464, 83eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
8584adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
86 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
8786eqcoms 2142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
88 2z 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℤ
8988a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
90 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
9189, 90zmulcld 9191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
9291zcnd 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
93 1cnd 7794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
94 2cnd 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9515a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 # 0)
9692, 93, 94, 95divdirapd 8601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
97 zcn 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9897, 94, 95divcanap3d 8567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
9998oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
10096, 99eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
10187, 100sylan9eqr 2194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102101oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103 halfcn 8946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 2) ∈ ℂ
104103a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1056, 8recclapi 8514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 4) ∈ ℂ
106105a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
10797, 104, 106addassd 7800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108107adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109102, 108eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110109fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111 oveq1 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112111eqcoms 2142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113 pncan1 8151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
11492, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115112, 114sylan9eqr 2194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116115oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
11798adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118116, 117eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
11985, 110, 1183eqtr4rd 2183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120119ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121120adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122121rexlimdva 2549 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
12348, 122sylbid 149 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124123impcom 124 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12547, 124eqtrd 2172 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126125expcom 115 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
127 zeo3 11576 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑀))
12845, 126, 127mpjaod 707 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
129128eqcomd 2145 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
130129adantr 274 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
13122, 130eqtrd 2172 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417  ifcif 3474   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7630  ℝcr 7631  0cc0 7632  1c1 7633   + caddc 7635   · cmul 7637   < clt 7812   ≤ cle 7813   − cmin 7945   # cap 8355   / cdiv 8444  ℕcn 8732  2c2 8783  3c3 8784  4c4 8785  ℤcz 9066  ℚcq 9423  ℝ+crp 9453  ⌊cfl 10053   ∥ cdvds 11504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055  df-dvds 11505 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator