Theorem resqrexlemnmsq 11164

Description: Lemma for resqrex 11173. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnmsq	⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelcdmd 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 9765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 10773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8050	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10		resqrexlemnmsq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	4, 10	ffvelcdmd 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 9765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 10773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8050	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℂ)
15	2	recnd 8050	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	nnncan2d 8367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
17	8, 2	resubcld 8402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
18	13, 2	resubcld 8402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 8402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1nn 8995	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
22	4, 21	ffvelcdmd 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23		2z 9348	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	rpexpcld 10771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26		4nn 9148	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 9763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
29	5	nnzd 9441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		1zzd 9347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 9447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32	28, 31	rpexpcld 10771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
33	25, 32	rpdivcld 9783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 9765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
35	1, 2, 3	resqrexlemover 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
36	10, 35	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
37		difrp 9761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	2, 13, 37	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
39	36, 38	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
40	17, 39	ltsubrpd 9798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴))
41	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
42	5, 41	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
43	19, 17, 34, 40, 42	ltletrd 8444	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
44	16, 43	eqbrtrrd 4054	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3619   class class class wbr 4030   × cxp 4658  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   ≤ cle 8057   − cmin 8192   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035  4c4 9037  ℤcz 9320  ℝ⁺crp 9722  seqcseq 10521  ↑cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11165