ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemnmsq GIF version

Theorem resqrexlemnmsq 10917
Description: Lemma for resqrex 10926. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm (𝜑𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnmsq (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10907 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
64, 5ffvelrnd 5603 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9603 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 10577 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
98recnd 7906 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10 resqrexlemnmsq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
114, 10ffvelrnd 5603 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
1211rpred 9603 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
1312resqcld 10577 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ)
1413recnd 7906 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℂ)
152recnd 7906 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
169, 14, 15nnncan2d 8221 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)))
178, 2resubcld 8256 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
1813, 2resubcld 8256 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 8256 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20 1nn 8844 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2120a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
224, 21ffvelrnd 5603 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23 2z 9195 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2423a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
2522, 24rpexpcld 10575 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26 4nn 8996 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
2827nnrpd 9601 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
295nnzd 9285 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
30 1zzd 9194 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3129, 30zsubcld 9291 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3228, 31rpexpcld 10575 . . . . 5 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
3325, 32rpdivcld 9621 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
3433rpred 9603 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
351, 2, 3resqrexlemover 10910 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2))
3610, 35mpdan 418 . . . . 5 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2))
37 difrp 9599 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2) ↔ (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
382, 13, 37syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2) ↔ (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3936, 38mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
4017, 39ltsubrpd 9636 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴))
411, 2, 3resqrexlemcalc3 10916 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
425, 41mpdan 418 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
4319, 17, 34, 40, 42ltletrd 8298 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
4416, 43eqbrtrrd 3988 1 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  {csn 3560   class class class wbr 3965   × cxp 4584  cfv 5170  (class class class)co 5824  cmpo 5826  cr 7731  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   < clt 7912  cle 7913  cmin 8046   / cdiv 8545  cn 8833  2c2 8884  4c4 8886  cz 9167  +crp 9560  seqcseq 10344  cexp 10418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-seqfrec 10345  df-exp 10419
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10918
  Copyright terms: Public domain W3C validator