ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemnmsq GIF version

Theorem resqrexlemnmsq 10415
Description: Lemma for resqrex 10424. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm (𝜑𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnmsq (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10405 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
64, 5ffvelrnd 5419 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9142 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
87resqcld 10077 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
98recnd 7495 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10 resqrexlemnmsq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
114, 10ffvelrnd 5419 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
1211rpred 9142 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
1312resqcld 10077 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ)
1413recnd 7495 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℂ)
152recnd 7495 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
169, 14, 15nnncan2d 7807 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)))
178, 2resubcld 7838 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
1813, 2resubcld 7838 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 7838 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20 1nn 8405 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2120a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
224, 21ffvelrnd 5419 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23 2z 8748 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2423a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
2522, 24rpexpcld 10075 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26 4nn 8549 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
2827nnrpd 9141 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
295nnzd 8837 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
30 1zzd 8747 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3129, 30zsubcld 8843 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3228, 31rpexpcld 10075 . . . . 5 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
3325, 32rpdivcld 9160 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
3433rpred 9142 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
351, 2, 3resqrexlemover 10408 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2))
3610, 35mpdan 412 . . . . 5 (𝜑𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2))
37 difrp 9139 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2) ↔ (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
382, 13, 37syl2anc 403 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹𝑀)↑2) ↔ (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
3936, 38mpbid 145 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
4017, 39ltsubrpd 9175 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴))
411, 2, 3resqrexlemcalc3 10414 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
425, 41mpdan 412 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
4319, 17, 34, 40, 42ltletrd 7880 . 2 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
4416, 43eqbrtrrd 3859 1 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  {csn 3441   class class class wbr 3837   × cxp 4426  cfv 5002  (class class class)co 5634  cmpt2 5636  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632   / cdiv 8113  cn 8394  2c2 8444  4c4 8446  cz 8720  +crp 9103  seqcseq 9817  cexp 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10416
  Copyright terms: Public domain W3C validator