Theorem resqrexlemnmsq 11733

Description: Lemma for resqrex 11742. The difference between the squares of two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 30-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnmsq	⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnmsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelcdmd 5820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 10052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8	7	resqcld 11091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 8320	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10		resqrexlemnmsq.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	4, 10	ffvelcdmd 5820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 10052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 11091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8320	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℂ)
15	2	recnd 8320	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	nnncan2d 8638	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
17	8, 2	resubcld 8674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
18	13, 2	resubcld 8674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	resubcld 8674	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
20		1nn 9270	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
22	4, 21	ffvelcdmd 5820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
23		2z 9627	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	rpexpcld 11089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
26		4nn 9423	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 10050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
29	5	nnzd 9722	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		1zzd 9626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31	29, 30	zsubcld 9728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
32	28, 31	rpexpcld 11089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
33	25, 32	rpdivcld 10070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 10052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
35	1, 2, 3	resqrexlemover 11726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
36	10, 35	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2))
37		difrp 10048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ) → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
38	2, 13, 37	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < ((𝐹‘𝑀)↑2) ↔ (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+))
39	36, 38	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ+)
40	17, 39	ltsubrpd 10085	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴))
41	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
42	5, 41	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
43	19, 17, 34, 40, 42	ltletrd 8717	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − 𝐴) − (((𝐹‘𝑀)↑2) − 𝐴)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
44	16, 43	eqbrtrrd 4139	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3695   class class class wbr 4115   × cxp 4754  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060   ∈ cmpo 6062  ℝcr 8144  0cc0 8145  1c1 8146   + caddc 8148   < clt 8326   ≤ cle 8327   − cmin 8463   / cdiv 8968  ℕcn 9259  2c2 9310  4c4 9312  ℤcz 9599  ℝ⁺crp 10009  seqcseq 10838  ↑cexp 10929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877  df-rp 10010  df-seqfrec 10839  df-exp 10930

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11734