Theorem iexpcyc 11096

Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 11094. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 10036	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
2		4z 9679	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		zq 10036	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ ℚ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℚ
5		4pos 9404	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
6		modqval 10776	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 4 ∈ ℚ ∧ 0 < 4) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
7	4, 5, 6	mp3an23 1370	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℚ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
9	8	oveq2d 6101	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
10		4nn 9473	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
11		znq 10034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
12	10, 11	mpan2 429	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
13	12	flqcld 10725	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
14		zmulcl 9703	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
15	2, 13, 14	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
16		ax-icn 8275	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
17		iap0 9533	. . . . 5 ⊢ i # 0
18		expsubap 11039	. . . . 5 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
19	16, 17, 18	mpanl12 440	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
20	15, 19	mpdan 425	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
21		expmulzap 11037	. . . . . . . 8 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
22	16, 17, 21	mpanl12 440	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
23	2, 13, 22	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
24		i4 11094	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
25	24	oveq1i 6095	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
26		1exp 11020	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
28	25, 27	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
29	23, 28	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
30	29	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
31		expclzap 11016	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i # 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
32	16, 17, 31	mp3an12 1368	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
33	32	div1d 9113	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
34	30, 33	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
35	20, 34	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
36	9, 35	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  0cc0 8180  1c1 8181  ici 8182   · cmul 8185   < clt 8361   − cmin 8499   # cap 8912   / cdiv 9005  ℕcn 9307  4c4 9360  ℤcz 9649  ℚcq 10029  ⌊cfl 10714   mod cmo 10774  ↑cexp 10990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991

This theorem is used by: (None)