ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iexpcyc GIF version

Theorem iexpcyc 10627
Description: Taking i to the ๐พ-th power is the same as using the ๐พ mod 4 -th power instead, by i4 10625. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zq 9628 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„š)
2 4z 9285 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„ค
3 zq 9628 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„š)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 4 โˆˆ โ„š
5 4pos 9018 . . . . 5 0 < 4
6 modqval 10326 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„š โˆง 4 โˆˆ โ„š โˆง 0 < 4) โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
74, 5, 6mp3an23 1329 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„š โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
81, 7syl 14 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ mod 4) = (๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))))
98oveq2d 5893 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
10 4nn 9084 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
11 znq 9626 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„š)
1210, 11mpan2 425 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ / 4) โˆˆ โ„š)
1312flqcld 10279 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)
14 zmulcl 9308 . . . . 5 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
152, 13, 14sylancr 414 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)
16 ax-icn 7908 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
17 iap0 9144 . . . . 5 i # 0
18 expsubap 10570 . . . . 5 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i # 0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
1916, 17, 18mpanl12 436 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
2015, 19mpdan 421 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))))
21 expmulzap 10568 . . . . . . . 8 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i # 0) โˆง (4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
2216, 17, 21mpanl12 436 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
232, 13, 22sylancr 414 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))
24 i4 10625 . . . . . . . 8 (iโ†‘4) = 1
2524oveq1i 5887 . . . . . . 7 ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))
26 1exp 10551 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜(๐พ / 4)) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2713, 26syl 14 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2825, 27eqtrid 2222 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘4)โ†‘(โŒŠโ€˜(๐พ / 4))) = 1)
2923, 28eqtrd 2210 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4)))) = 1)
3029oveq2d 5893 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = ((iโ†‘๐พ) / 1))
31 expclzap 10547 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i # 0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3216, 17, 31mp3an12 1327 . . . . 5 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘๐พ) โˆˆ โ„‚)
3332div1d 8739 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / 1) = (iโ†‘๐พ))
3430, 33eqtrd 2210 . . 3 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((iโ†‘๐พ) / (iโ†‘(4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
3520, 34eqtrd 2210 . 2 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ โˆ’ (4 ยท (โŒŠโ€˜(๐พ / 4))))) = (iโ†‘๐พ))
369, 35eqtrd 2210 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (iโ†‘(๐พ mod 4)) = (iโ†‘๐พ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814  ici 7815   ยท cmul 7818   < clt 7994   โˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  4c4 8974  โ„คcz 9255  โ„šcq 9621  โŒŠcfl 10270   mod cmo 10324  โ†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator