ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iexpcyc GIF version

Theorem iexpcyc 10619
Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 10617. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zq 9622 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
2 4z 9279 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
3 zq 9622 . . . . . 6 (4 ∈ ℤ → 4 ∈ ℚ)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 4 ∈ ℚ
5 4pos 9012 . . . . 5 0 < 4
6 modqval 10319 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 4 ∈ ℚ ∧ 0 < 4) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
74, 5, 6mp3an23 1329 . . . 4 (𝐾 ∈ ℚ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
81, 7syl 14 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
98oveq2d 5888 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
10 4nn 9078 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
11 znq 9620 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
1210, 11mpan2 425 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
1312flqcld 10272 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
14 zmulcl 9302 . . . . 5 ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
152, 13, 14sylancr 414 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
16 ax-icn 7903 . . . . 5 i ∈ ℂ
17 iap0 9138 . . . . 5 i # 0
18 expsubap 10563 . . . . 5 (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
1916, 17, 18mpanl12 436 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
2015, 19mpdan 421 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
21 expmulzap 10561 . . . . . . . 8 (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
2216, 17, 21mpanl12 436 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
232, 13, 22sylancr 414 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
24 i4 10617 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
2524oveq1i 5882 . . . . . . 7 ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
26 1exp 10544 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2713, 26syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2825, 27eqtrid 2222 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2923, 28eqtrd 2210 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
3029oveq2d 5888 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
31 expclzap 10540 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ i # 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
3216, 17, 31mp3an12 1327 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
3332div1d 8733 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
3430, 33eqtrd 2210 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
3520, 34eqtrd 2210 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
369, 35eqtrd 2210 1 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4002  cfv 5215  (class class class)co 5872  cc 7806  0cc0 7808  1c1 7809  ici 7810   · cmul 7813   < clt 7988  cmin 8124   # cap 8534   / cdiv 8625  cn 8915  4c4 8968  cz 9249  cq 9615  cfl 10263   mod cmo 10317  cexp 10514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-fl 10265  df-mod 10318  df-seqfrec 10441  df-exp 10515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator