Theorem iexpcyc 10883

Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 10881. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9838	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
2		4z 9492	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		zq 9838	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ ℚ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℚ
5		4pos 9223	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
6		modqval 10563	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 4 ∈ ℚ ∧ 0 < 4) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
7	4, 5, 6	mp3an23 1363	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℚ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
9	8	oveq2d 6026	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
10		4nn 9290	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
11		znq 9836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
12	10, 11	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
13	12	flqcld 10514	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
14		zmulcl 9516	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
16		ax-icn 8110	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
17		iap0 9350	. . . . 5 ⊢ i # 0
18		expsubap 10826	. . . . 5 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
19	16, 17, 18	mpanl12 436	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
20	15, 19	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
21		expmulzap 10824	. . . . . . . 8 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
22	16, 17, 21	mpanl12 436	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
23	2, 13, 22	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
24		i4 10881	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
25	24	oveq1i 6020	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
26		1exp 10807	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
28	25, 27	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
29	23, 28	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
30	29	oveq2d 6026	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
31		expclzap 10803	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i # 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
32	16, 17, 31	mp3an12 1361	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
33	32	div1d 8943	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
34	30, 33	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
35	20, 34	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
36	9, 35	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015  1c1 8016  ici 8017   · cmul 8020   < clt 8197   − cmin 8333   # cap 8744   / cdiv 8835  ℕcn 9126  4c4 9179  ℤcz 9462  ℚcq 9831  ⌊cfl 10505   mod cmo 10561  ↑cexp 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778

This theorem is referenced by: (None)