Theorem iexpcyc 10874

Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 10872. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iexpcyc	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9829	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
2		4z 9484	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		zq 9829	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → 4 ∈ ℚ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℚ
5		4pos 9215	. . . . 5 ⊢ 0 < 4
6		modqval 10554	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 4 ∈ ℚ ∧ 0 < 4) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
7	4, 5, 6	mp3an23 1363	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℚ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
8	1, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
9	8	oveq2d 6023	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
10		4nn 9282	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
11		znq 9827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
12	10, 11	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
13	12	flqcld 10505	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
14		zmulcl 9508	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
16		ax-icn 8102	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
17		iap0 9342	. . . . 5 ⊢ i # 0
18		expsubap 10817	. . . . 5 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
19	16, 17, 18	mpanl12 436	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
20	15, 19	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
21		expmulzap 10815	. . . . . . . 8 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
22	16, 17, 21	mpanl12 436	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
23	2, 13, 22	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
24		i4 10872	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
25	24	oveq1i 6017	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
26		1exp 10798	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
28	25, 27	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
29	23, 28	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
30	29	oveq2d 6023	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
31		expclzap 10794	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i # 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
32	16, 17, 31	mp3an12 1361	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
33	32	div1d 8935	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
34	30, 33	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
35	20, 34	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
36	9, 35	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008  ici 8009   · cmul 8012   < clt 8189   − cmin 8325   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕcn 9118  4c4 9171  ℤcz 9454  ℚcq 9822  ⌊cfl 10496   mod cmo 10552  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by: (None)