ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iexpcyc GIF version

Theorem iexpcyc 10024
Description: Taking i to the 𝐾-th power is the same as using the 𝐾 mod 4 -th power instead, by i4 10022. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iexpcyc (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))

Proof of Theorem iexpcyc
StepHypRef Expression
1 zq 9080 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
2 4z 8750 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
3 zq 9080 . . . . . 6 (4 ∈ ℤ → 4 ∈ ℚ)
42, 3ax-mp 7 . . . . 5 4 ∈ ℚ
5 4pos 8490 . . . . 5 0 < 4
6 modqval 9696 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℚ ∧ 4 ∈ ℚ ∧ 0 < 4) → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
74, 5, 6mp3an23 1265 . . . 4 (𝐾 ∈ ℚ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
81, 7syl 14 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 mod 4) = (𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))))
98oveq2d 5650 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
10 4nn 8549 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
11 znq 9078 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
1210, 11mpan2 416 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 / 4) ∈ ℚ)
1312flqcld 9649 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)
14 zmulcl 8773 . . . . 5 ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
152, 13, 14sylancr 405 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)
16 ax-icn 7419 . . . . 5 i ∈ ℂ
17 iap0 8609 . . . . 5 i # 0
18 expsubap 9968 . . . . 5 (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ)) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
1916, 17, 18mpanl12 427 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))) ∈ ℤ) → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
2015, 19mpdan 412 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))))
21 expmulzap 9966 . . . . . . . 8 (((i ∈ ℂ ∧ i # 0) ∧ (4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ)) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
2216, 17, 21mpanl12 427 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ) → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
232, 13, 22sylancr 405 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))))
24 i4 10022 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
2524oveq1i 5644 . . . . . . 7 ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = (1↑(⌊‘(𝐾 / 4)))
26 1exp 9949 . . . . . . . 8 ((⌊‘(𝐾 / 4)) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2713, 26syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2825, 27syl5eq 2132 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑4)↑(⌊‘(𝐾 / 4))) = 1)
2923, 28eqtrd 2120 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4)))) = 1)
3029oveq2d 5650 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = ((i↑𝐾) / 1))
31 expclzap 9945 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ i # 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
3216, 17, 31mp3an12 1263 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑𝐾) ∈ ℂ)
3332div1d 8221 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / 1) = (i↑𝐾))
3430, 33eqtrd 2120 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → ((i↑𝐾) / (i↑(4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
3520, 34eqtrd 2120 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 − (4 · (⌊‘(𝐾 / 4))))) = (i↑𝐾))
369, 35eqtrd 2120 1 (𝐾 ∈ ℤ → (i↑(𝐾 mod 4)) = (i↑𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329  1c1 7330  ici 7331   · cmul 7334   < clt 7501  cmin 7632   # cap 8034   / cdiv 8113  cn 8394  4c4 8446  cz 8720  cq 9073  cfl 9640   mod cmo 9694  cexp 9919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator