ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flodddiv4t2lthalf GIF version

Theorem flodddiv4t2lthalf 11019
Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4t2lthalf ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf
StepHypRef Expression
1 flodddiv4lt 11018 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2 4nn 8549 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
3 znq 9078 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
42, 3mpan2 416 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
54flqcld 9649 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
65zred 8838 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
76adantr 270 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
8 qre 9079 . . . . . 6 ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
94, 8syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
109adantr 270 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
11 2re 8463 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
12 2pos 8484 . . . . . 6 0 < 2
1311, 12pm3.2i 266 . . . . 5 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1413a1i 9 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
15 ltmul1 8045 . . . 4 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
167, 10, 14, 15syl3anc 1174 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
171, 16mpbid 145 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
18 zcn 8725 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918halfcld 8630 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
20 2cnd 8466 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
21 2ap0 8486 . . . . . 6 2 # 0
2221a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
2319, 20, 22divcanap1d 8231 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
2418, 20, 20, 22, 22divdivap1d 8261 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25 2t2e4 8540 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
2625a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2726oveq2d 5650 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
2824, 27eqtrd 2120 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
2928oveq1d 5649 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3023, 29eqtr3d 2122 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3130adantr 270 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3217, 31breqtrrd 3863 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329   · cmul 7334   < clt 7501   # cap 8034   / cdiv 8113  cn 8394  2c2 8444  4c4 8446  cz 8720  cq 9073  cfl 9640  cdvds 10878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-dvds 10879
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator