Theorem flodddiv4t2lthalf 12499

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 12498	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2		4nn 9306	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		znq 9857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
5	4	flqcld 10536	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
6	5	zred 9601	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
8		qre 9858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
11		2re 9212	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		2pos 9233	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
15		ltmul1 8771	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
16	7, 10, 14, 15	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
17	1, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
18		zcn 9483	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	halfcld 9388	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
20		2cnd 9215	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
21		2ap0 9235	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
22	21	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
23	19, 20, 22	divcanap1d 8970	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
24	18, 20, 20, 22, 22	divdivap1d 9001	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25		2t2e4 9297	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
27	26	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
28	24, 27	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
29	28	oveq1d 6032	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
30	23, 29	eqtr3d 2266	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
31	30	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
32	17, 31	breqtrrd 4116	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031   · cmul 8036   < clt 8213   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  4c4 9195  ℤcz 9478  ℚcq 9852  ⌊cfl 10527   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  15781