ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flodddiv4t2lthalf GIF version

Theorem flodddiv4t2lthalf 11912
Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4t2lthalf ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf
StepHypRef Expression
1 flodddiv4lt 11911 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2 4nn 9058 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
3 znq 9600 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
42, 3mpan2 425 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
54flqcld 10250 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
65zred 9351 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
76adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
8 qre 9601 . . . . . 6 ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
94, 8syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
109adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
11 2re 8965 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
12 2pos 8986 . . . . . 6 0 < 2
1311, 12pm3.2i 272 . . . . 5 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1413a1i 9 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
15 ltmul1 8526 . . . 4 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
167, 10, 14, 15syl3anc 1238 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
171, 16mpbid 147 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
18 zcn 9234 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918halfcld 9139 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
20 2cnd 8968 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
21 2ap0 8988 . . . . . 6 2 # 0
2221a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
2319, 20, 22divcanap1d 8724 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
2418, 20, 20, 22, 22divdivap1d 8755 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25 2t2e4 9049 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
2625a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2726oveq2d 5884 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
2824, 27eqtrd 2210 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
2928oveq1d 5883 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3023, 29eqtr3d 2212 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3130adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
3217, 31breqtrrd 4028 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  cr 7788  0cc0 7789   · cmul 7794   < clt 7969   # cap 8515   / cdiv 8605  cn 8895  2c2 8946  4c4 8948  cz 9229  cq 9595  cfl 10241  cdvds 11765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-q 9596  df-rp 9628  df-fl 10243  df-dvds 11766
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator