Theorem flodddiv4t2lthalf 12250

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 12249	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4))
2		4nn 9200	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		znq 9745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
4	2, 3	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℚ)
5	4	flqcld 10420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
6	5	zred 9495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
8		qre 9746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℚ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
11		2re 9106	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		2pos 9127	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
15		ltmul1 8665	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
16	7, 10, 14, 15	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) < (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2)))
17	1, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < ((𝑁 / 4) · 2))
18		zcn 9377	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	halfcld 9282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
20		2cnd 9109	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
21		2ap0 9129	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
22	21	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
23	19, 20, 22	divcanap1d 8864	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = (𝑁 / 2))
24	18, 20, 20, 22, 22	divdivap1d 8895	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / (2 · 2)))
25		2t2e4 9191	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
27	26	oveq2d 5960	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / (2 · 2)) = (𝑁 / 4))
28	24, 27	eqtrd 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) / 2) = (𝑁 / 4))
29	28	oveq1d 5959	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 / 2) / 2) · 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
30	23, 29	eqtr3d 2240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
31	30	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 2) = ((𝑁 / 4) · 2))
32	17, 31	breqtrrd 4072	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) · 2) < (𝑁 / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  ℝcr 7924  0cc0 7925   · cmul 7930   < clt 8107   # cap 8654   / cdiv 8745  ℕcn 9036  2c2 9087  4c4 9089  ℤcz 9372  ℚcq 9740  ⌊cfl 10411   ∥ cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0e  15530