ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 GIF version

Theorem 6lcm4e12 10944
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 8439 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 8435 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7437 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 8627 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 8705 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 8713 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 10929 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 8661 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 417 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 10833 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 8661 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 417 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 266 . . . . . . 7 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 8455 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
1514neii 2253 . . . . . . . 8 ¬ 4 = 0
1615intnan 874 . . . . . . 7 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 10829 . . . . . . 7 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 417 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 8388 . . . . 5 (6 gcd 4) ≠ 0
2018nnzi 8704 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℤ
21 0z 8694 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
22 zapne 8754 . . . . . 6 (((6 gcd 4) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0))
2320, 21, 22mp2an 417 . . . . 5 ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0)
2419, 23mpbir 144 . . . 4 (6 gcd 4) # 0
2512, 24pm3.2i 266 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)
26 6nn 8515 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
27 4nn 8513 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2826, 27pm3.2i 266 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
29 lcmgcdnn 10939 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3028, 29mp1i 10 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3130eqcomd 2090 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
32 divmulap3 8083 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
3331, 32mpbird 165 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
3433eqcomd 2090 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
353, 9, 25, 34mp3an 1271 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
36 6gcd4e2 10859 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3736oveq2i 5624 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
38 2cn 8428 . . . 4 2 ∈ ℂ
39 2ap0 8450 . . . 4 2 # 0
401, 2, 38, 39divassapi 8174 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
41 4d2e2 8510 . . . 4 (4 / 2) = 2
4241oveq2i 5624 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
43 6t2e12 8912 . . 3 (6 · 2) = 12
4440, 42, 433eqtri 2109 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4535, 37, 443eqtri 2109 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cc 7292  0cc0 7294  1c1 7295   · cmul 7299   # cap 7999   / cdiv 8078  cn 8357  2c2 8407  4c4 8409  6c6 8411  cz 8683  cdc 8809   gcd cgcd 10813   lcm clcm 10917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-isom 4990  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-sup 6623  df-inf 6624  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-5 8419  df-6 8420  df-7 8421  df-8 8422  df-9 8423  df-n0 8607  df-z 8684  df-dec 8810  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9853  df-cj 10171  df-re 10172  df-im 10173  df-rsqrt 10326  df-abs 10327  df-dvds 10672  df-gcd 10814  df-lcm 10918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator