Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 GIF version

Theorem 6lcm4e12 11791
 Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 8821 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 8817 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7790 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 9017 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 9095 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 9103 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 11776 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 9051 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 422 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 11678 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 9051 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 422 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 270 . . . . . . 7 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 8837 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
1514neii 2310 . . . . . . . 8 ¬ 4 = 0
1615intnan 914 . . . . . . 7 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 11674 . . . . . . 7 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 422 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 8771 . . . . 5 (6 gcd 4) ≠ 0
2018nnzi 9094 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℤ
21 0z 9084 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
22 zapne 9144 . . . . . 6 (((6 gcd 4) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0))
2320, 21, 22mp2an 422 . . . . 5 ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0)
2419, 23mpbir 145 . . . 4 (6 gcd 4) # 0
2512, 24pm3.2i 270 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)
26 6nn 8904 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
27 4nn 8902 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2826, 27pm3.2i 270 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
29 lcmgcdnn 11786 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3028, 29mp1i 10 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3130eqcomd 2145 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
32 divmulap3 8456 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
3331, 32mpbird 166 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
3433eqcomd 2145 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
353, 9, 25, 34mp3an 1315 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
36 6gcd4e2 11706 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3736oveq2i 5788 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
38 2cn 8810 . . . 4 2 ∈ ℂ
39 2ap0 8832 . . . 4 2 # 0
401, 2, 38, 39divassapi 8547 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
41 4d2e2 8899 . . . 4 (4 / 2) = 2
4241oveq2i 5788 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
43 6t2e12 9304 . . 3 (6 · 2) = 12
4440, 42, 433eqtri 2164 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4535, 37, 443eqtri 2164 1 (6 lcm 4) = 12
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777  ℂcc 7637  0cc0 7639  1c1 7640   · cmul 7644   # cap 8362   / cdiv 8451  ℕcn 8739  2c2 8790  4c4 8792  6c6 8794  ℤcz 9073  ;cdc 9201   gcd cgcd 11658   lcm clcm 11764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-5 8801  df-6 8802  df-7 8803  df-8 8804  df-9 8805  df-n0 8997  df-z 9074  df-dec 9202  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-fl 10067  df-mod 10120  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-dvds 11517  df-gcd 11659  df-lcm 11765 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator