ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6lcm4e12 GIF version

Theorem 6lcm4e12 12122
Description: The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6lcm4e12 (6 lcm 4) = 12

Proof of Theorem 6lcm4e12
StepHypRef Expression
1 6cn 9032 . . . 4 6 ∈ ℂ
2 4cn 9028 . . . 4 4 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7993 . . 3 (6 · 4) ∈ ℂ
4 6nn0 9228 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
54nn0zi 9306 . . . 4 6 ∈ ℤ
6 4z 9314 . . . 4 4 ∈ ℤ
7 lcmcl 12107 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 9262 . . . 4 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 lcm 4) ∈ ℂ)
95, 6, 8mp2an 426 . . 3 (6 lcm 4) ∈ ℂ
10 gcdcl 12002 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 9262 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) ∈ ℂ)
125, 6, 11mp2an 426 . . . 4 (6 gcd 4) ∈ ℂ
135, 6pm3.2i 272 . . . . . . 7 (6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ)
14 4ne0 9048 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
1514neii 2362 . . . . . . . 8 ¬ 4 = 0
1615intnan 930 . . . . . . 7 ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)
17 gcdn0cl 11998 . . . . . . 7 (((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) ∧ ¬ (6 = 0 ∧ 4 = 0)) → (6 gcd 4) ∈ ℕ)
1813, 16, 17mp2an 426 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℕ
1918nnne0i 8982 . . . . 5 (6 gcd 4) ≠ 0
2018nnzi 9305 . . . . . 6 (6 gcd 4) ∈ ℤ
21 0z 9295 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
22 zapne 9358 . . . . . 6 (((6 gcd 4) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0))
2320, 21, 22mp2an 426 . . . . 5 ((6 gcd 4) # 0 ↔ (6 gcd 4) ≠ 0)
2419, 23mpbir 146 . . . 4 (6 gcd 4) # 0
2512, 24pm3.2i 272 . . 3 ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)
26 6nn 9115 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
27 4nn 9113 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
2826, 27pm3.2i 272 . . . . . . 7 (6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ)
29 lcmgcdnn 12117 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3028, 29mp1i 10 . . . . . 6 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)) = (6 · 4))
3130eqcomd 2195 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4)))
32 divmulap3 8665 . . . . 5 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4) ↔ (6 · 4) = ((6 lcm 4) · (6 gcd 4))))
3331, 32mpbird 167 . . . 4 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = (6 lcm 4))
3433eqcomd 2195 . . 3 (((6 · 4) ∈ ℂ ∧ (6 lcm 4) ∈ ℂ ∧ ((6 gcd 4) ∈ ℂ ∧ (6 gcd 4) # 0)) → (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4)))
353, 9, 25, 34mp3an 1348 . 2 (6 lcm 4) = ((6 · 4) / (6 gcd 4))
36 6gcd4e2 12031 . . 3 (6 gcd 4) = 2
3736oveq2i 5908 . 2 ((6 · 4) / (6 gcd 4)) = ((6 · 4) / 2)
38 2cn 9021 . . . 4 2 ∈ ℂ
39 2ap0 9043 . . . 4 2 # 0
401, 2, 38, 39divassapi 8756 . . 3 ((6 · 4) / 2) = (6 · (4 / 2))
41 4d2e2 9110 . . . 4 (4 / 2) = 2
4241oveq2i 5908 . . 3 (6 · (4 / 2)) = (6 · 2)
43 6t2e12 9518 . . 3 (6 · 2) = 12
4440, 42, 433eqtri 2214 . 2 ((6 · 4) / 2) = 12
4535, 37, 443eqtri 2214 1 (6 lcm 4) = 12
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  cc 7840  0cc0 7842  1c1 7843   · cmul 7847   # cap 8569   / cdiv 8660  cn 8950  2c2 9001  4c4 9003  6c6 9005  cz 9284  cdc 9415   gcd cgcd 11978   lcm clcm 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-dvds 11830  df-gcd 11979  df-lcm 12096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator