Theorem caucvgsrlemofff 7799

Description: Lemma for caucvgsr 7804. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemofff	⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2	1	ffvelcdmda 5654	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐹‘𝑎) ∈ R)
3		1sr 7753	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
4		addclsr 7755	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
6		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
7	6	caucvgsrlemasr 7792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
9		m1r 7754	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 7756	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
12		addclsr 7755	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
14		caucvgsrlembnd.offset	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15	13, 14	fmptd 5673	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  ∀wral 2455  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  1_oc1o 6413  [cec 6536  Ncnpi 7274   <_N clti 7277   ~_Q ceq 7281  *_Qcrq 7286   <_Q cltq 7287  1_Pc1p 7294   +_P cpp 7295   ~_R cer 7298  Rcnr 7299  1_Rc1r 7301  -1_Rcm1r 7302   +_R cplr 7303   ·_R cmr 7304   <_R cltr 7305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-enq0 7426  df-nq0 7427  df-0nq0 7428  df-plq0 7429  df-mq0 7430  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-iplp 7470  df-imp 7471  df-enr 7728  df-nr 7729  df-plr 7730  df-mr 7731  df-ltr 7732  df-1r 7734  df-m1r 7735

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7800  caucvgsrlemoffgt1  7801  caucvgsrlemoffres  7802