ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemofff GIF version

Theorem caucvgsrlemofff 7342
Description: Lemma for caucvgsr 7347. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemofff (𝜑𝐺:NR)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . . 5 (𝜑𝐹:NR)
21ffvelrnda 5434 . . . 4 ((𝜑𝑎N) → (𝐹𝑎) ∈ R)
3 1sr 7297 . . . 4 1RR
4 addclsr 7299 . . . 4 (((𝐹𝑎) ∈ R ∧ 1RR) → ((𝐹𝑎) +R 1R) ∈ R)
52, 3, 4sylancl 404 . . 3 ((𝜑𝑎N) → ((𝐹𝑎) +R 1R) ∈ R)
6 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
76caucvgsrlemasr 7335 . . . . 5 (𝜑𝐴R)
87adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑎N) → 𝐴R)
9 m1r 7298 . . . 4 -1RR
10 mulclsr 7300 . . . 4 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
118, 9, 10sylancl 404 . . 3 ((𝜑𝑎N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
12 addclsr 7299 . . 3 ((((𝐹𝑎) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
135, 11, 12syl2anc 403 . 2 ((𝜑𝑎N) → (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
14 caucvgsrlembnd.offset . 2 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
1513, 14fmptd 5452 1 (𝜑𝐺:NR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  {cab 2074  wral 2359  cop 3449   class class class wbr 3845  cmpt 3899  wf 5011  cfv 5015  (class class class)co 5652  1𝑜c1o 6174  [cec 6290  Ncnpi 6831   <N clti 6834   ~Q ceq 6838  *Qcrq 6843   <Q cltq 6844  1Pc1p 6851   +P cpp 6852   ~R cer 6855  Rcnr 6856  1Rc1r 6858  -1Rcm1r 6859   +R cplr 6860   ·R cmr 6861   <R cltr 6862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-i1p 7026  df-iplp 7027  df-imp 7028  df-enr 7272  df-nr 7273  df-plr 7274  df-mr 7275  df-ltr 7276  df-1r 7278  df-m1r 7279
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7343  caucvgsrlemoffgt1  7344  caucvgsrlemoffres  7345
  Copyright terms: Public domain W3C validator