Theorem caucvgsrlemofff 8170

Description: Lemma for caucvgsr 8175. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemofff	⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑙)   𝐴(𝑢, 𝑘, 𝑛, 𝑎, 𝑙)   𝐹(𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑎, 𝑙)   𝐺(𝑢, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑎, 𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2	1	ffvelcdmda 5846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐹‘𝑎) ∈ R)
3		1sr 8124	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
4		addclsr 8126	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
5	2, 3, 4	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
6		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
7	6	caucvgsrlemasr 8163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
9		m1r 8125	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 8127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
11	8, 9, 10	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
12		addclsr 8126	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
13	5, 11, 12	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
14		caucvgsrlembnd.offset	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15	13, 14	fmptd 5865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1_oc1o 6684  [cec 6809  Ncnpi 7645   <_N clti 7648   ~_Q ceq 7652  *_Qcrq 7657   <_Q cltq 7658  1_Pc1p 7665   +_P cpp 7666   ~_R cer 7669  Rcnr 7670  1_Rc1r 7672  -1_Rcm1r 7673   +_R cplr 7674   ·_R cmr 7675   <_R cltr 7676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-imp 7842  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-mr 8102  df-ltr 8103  df-1r 8105  df-m1r 8106

This theorem is used by:  caucvgsrlemoffcau  8171  caucvgsrlemoffgt1  8172  caucvgsrlemoffres  8173