Theorem caucvgsrlemofff 7598

Description: Lemma for caucvgsr 7603. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemofff	⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2	1	ffvelrnda 5548	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐹‘𝑎) ∈ R)
3		1sr 7552	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
4		addclsr 7554	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
5	2, 3, 4	sylancl 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
6		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
7	6	caucvgsrlemasr 7591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
8	7	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
9		m1r 7553	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 7555	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
11	8, 9, 10	sylancl 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
12		addclsr 7554	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
13	5, 11, 12	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
14		caucvgsrlembnd.offset	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15	13, 14	fmptd 5567	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2123  ∀wral 2414  ⟨cop 3525   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  1_oc1o 6299  [cec 6420  Ncnpi 7073   <_N clti 7076   ~_Q ceq 7080  *_Qcrq 7085   <_Q cltq 7086  1_Pc1p 7093   +_P cpp 7094   ~_R cer 7097  Rcnr 7098  1_Rc1r 7100  -1_Rcm1r 7101   +_R cplr 7102   ·_R cmr 7103   <_R cltr 7104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-ltr 7531  df-1r 7533  df-m1r 7534

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7599  caucvgsrlemoffgt1  7600  caucvgsrlemoffres  7601