Theorem caucvgsrlemofff 8016

Description: Lemma for caucvgsr 8021. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemofff	⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2	1	ffvelcdmda 5782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐹‘𝑎) ∈ R)
3		1sr 7970	. . . 4 ⊢ 1R ∈ R
4		addclsr 7972	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R)
6		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
7	6	caucvgsrlemasr 8009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
9		m1r 7971	. . . 4 ⊢ -1R ∈ R
10		mulclsr 7973	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
12		addclsr 7972	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝑎) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ N) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
14		caucvgsrlembnd.offset	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
15	13, 14	fmptd 5801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∀wral 2510  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  1_oc1o 6574  [cec 6699  Ncnpi 7491   <_N clti 7494   ~_Q ceq 7498  *_Qcrq 7503   <_Q cltq 7504  1_Pc1p 7511   +_P cpp 7512   ~_R cer 7515  Rcnr 7516  1_Rc1r 7518  -1_Rcm1r 7519   +_R cplr 7520   ·_R cmr 7521   <_R cltr 7522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-iplp 7687  df-imp 7688  df-enr 7945  df-nr 7946  df-plr 7947  df-mr 7948  df-ltr 7949  df-1r 7951  df-m1r 7952

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  8017  caucvgsrlemoffgt1  8018  caucvgsrlemoffres  8019