ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemofff GIF version

Theorem caucvgsrlemofff 7625
Description: Lemma for caucvgsr 7630. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemofff (𝜑𝐺:NR)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemofff
StepHypRef Expression
1 caucvgsr.f . . . . 5 (𝜑𝐹:NR)
21ffvelrnda 5559 . . . 4 ((𝜑𝑎N) → (𝐹𝑎) ∈ R)
3 1sr 7579 . . . 4 1RR
4 addclsr 7581 . . . 4 (((𝐹𝑎) ∈ R ∧ 1RR) → ((𝐹𝑎) +R 1R) ∈ R)
52, 3, 4sylancl 410 . . 3 ((𝜑𝑎N) → ((𝐹𝑎) +R 1R) ∈ R)
6 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
76caucvgsrlemasr 7618 . . . . 5 (𝜑𝐴R)
87adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑎N) → 𝐴R)
9 m1r 7580 . . . 4 -1RR
10 mulclsr 7582 . . . 4 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
118, 9, 10sylancl 410 . . 3 ((𝜑𝑎N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
12 addclsr 7581 . . 3 ((((𝐹𝑎) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
135, 11, 12syl2anc 409 . 2 ((𝜑𝑎N) → (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
14 caucvgsrlembnd.offset . 2 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
1513, 14fmptd 5578 1 (𝜑𝐺:NR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  {cab 2126  wral 2417  cop 3531   class class class wbr 3933  cmpt 3993  wf 5123  cfv 5127  (class class class)co 5778  1oc1o 6310  [cec 6431  Ncnpi 7100   <N clti 7103   ~Q ceq 7107  *Qcrq 7112   <Q cltq 7113  1Pc1p 7120   +P cpp 7121   ~R cer 7124  Rcnr 7125  1Rc1r 7127  -1Rcm1r 7128   +R cplr 7129   ·R cmr 7130   <R cltr 7131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-eprel 4215  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-1o 6317  df-2o 6318  df-oadd 6321  df-omul 6322  df-er 6433  df-ec 6435  df-qs 6439  df-ni 7132  df-pli 7133  df-mi 7134  df-lti 7135  df-plpq 7172  df-mpq 7173  df-enq 7175  df-nqqs 7176  df-plqqs 7177  df-mqqs 7178  df-1nqqs 7179  df-rq 7180  df-ltnqqs 7181  df-enq0 7252  df-nq0 7253  df-0nq0 7254  df-plq0 7255  df-mq0 7256  df-inp 7294  df-i1p 7295  df-iplp 7296  df-imp 7297  df-enr 7554  df-nr 7555  df-plr 7556  df-mr 7557  df-ltr 7558  df-1r 7560  df-m1r 7561
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7626  caucvgsrlemoffgt1  7627  caucvgsrlemoffres  7628
  Copyright terms: Public domain W3C validator