ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 GIF version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 7786
Description: Lemma for caucvgsr 7789. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑚   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
21r19.21bi 2565 . . . . . 6 ((𝜑𝑚N) → 𝐴 <R (𝐹𝑚))
3 ltasrg 7757 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
43adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚N) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
51caucvgsrlemasr 7777 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴R)
65adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → 𝐴R)
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:NR)
87ffvelcdmda 5647 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → (𝐹𝑚) ∈ R)
9 1sr 7738 . . . . . . . 8 1RR
109a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → 1RR)
11 addcomsrg 7742 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
1211adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚N) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 6038 . . . . . 6 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 <R (𝐹𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹𝑚) +R 1R)))
142, 13mpbid 147 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹𝑚) +R 1R))
15 caucvgsr.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 7783 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = ((𝐹𝑚) +R 1R))
1814, 17breqtrrd 4028 . . . 4 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐺𝑚) +R 𝐴))
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 7784 . . . . . 6 (𝜑𝐺:NR)
2019ffvelcdmda 5647 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → (𝐺𝑚) ∈ R)
21 addcomsrg 7742 . . . . 5 (((𝐺𝑚) ∈ R𝐴R) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
2220, 6, 21syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑚N) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
2318, 22breqtrd 4026 . . 3 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
24 ltasrg 7757 . . . 4 ((1RR ∧ (𝐺𝑚) ∈ R𝐴R) → (1R <R (𝐺𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚))))
2510, 20, 6, 24syl3anc 1238 . . 3 ((𝜑𝑚N) → (1R <R (𝐺𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚))))
2623, 25mpbird 167 . 2 ((𝜑𝑚N) → 1R <R (𝐺𝑚))
2726ralrimiva 2550 1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  cop 3594   class class class wbr 4000  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  1oc1o 6404  [cec 6527  Ncnpi 7259   <N clti 7262   ~Q ceq 7266  *Qcrq 7271   <Q cltq 7272  1Pc1p 7279   +P cpp 7280   ~R cer 7283  Rcnr 7284  1Rc1r 7286  -1Rcm1r 7287   +R cplr 7288   ·R cmr 7289   <R cltr 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7291  df-pli 7292  df-mi 7293  df-lti 7294  df-plpq 7331  df-mpq 7332  df-enq 7334  df-nqqs 7335  df-plqqs 7336  df-mqqs 7337  df-1nqqs 7338  df-rq 7339  df-ltnqqs 7340  df-enq0 7411  df-nq0 7412  df-0nq0 7413  df-plq0 7414  df-mq0 7415  df-inp 7453  df-i1p 7454  df-iplp 7455  df-imp 7456  df-iltp 7457  df-enr 7713  df-nr 7714  df-plr 7715  df-mr 7716  df-ltr 7717  df-0r 7718  df-1r 7719  df-m1r 7720
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7787
  Copyright terms: Public domain W3C validator