ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 GIF version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 7575
Description: Lemma for caucvgsr 7578. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑚   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
21r19.21bi 2497 . . . . . 6 ((𝜑𝑚N) → 𝐴 <R (𝐹𝑚))
3 ltasrg 7546 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
43adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚N) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
51caucvgsrlemasr 7566 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴R)
65adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → 𝐴R)
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:NR)
87ffvelrnda 5523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → (𝐹𝑚) ∈ R)
9 1sr 7527 . . . . . . . 8 1RR
109a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → 1RR)
11 addcomsrg 7531 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
1211adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚N) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 5908 . . . . . 6 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 <R (𝐹𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹𝑚) +R 1R)))
142, 13mpbid 146 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹𝑚) +R 1R))
15 caucvgsr.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 7572 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = ((𝐹𝑚) +R 1R))
1814, 17breqtrrd 3926 . . . 4 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐺𝑚) +R 𝐴))
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 7573 . . . . . 6 (𝜑𝐺:NR)
2019ffvelrnda 5523 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → (𝐺𝑚) ∈ R)
21 addcomsrg 7531 . . . . 5 (((𝐺𝑚) ∈ R𝐴R) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
2220, 6, 21syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝑚N) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
2318, 22breqtrd 3924 . . 3 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
24 ltasrg 7546 . . . 4 ((1RR ∧ (𝐺𝑚) ∈ R𝐴R) → (1R <R (𝐺𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚))))
2510, 20, 6, 24syl3anc 1201 . . 3 ((𝜑𝑚N) → (1R <R (𝐺𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚))))
2623, 25mpbird 166 . 2 ((𝜑𝑚N) → 1R <R (𝐺𝑚))
2726ralrimiva 2482 1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  {cab 2103  wral 2393  cop 3500   class class class wbr 3899  cmpt 3959  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  1oc1o 6274  [cec 6395  Ncnpi 7048   <N clti 7051   ~Q ceq 7055  *Qcrq 7060   <Q cltq 7061  1Pc1p 7068   +P cpp 7069   ~R cer 7072  Rcnr 7073  1Rc1r 7075  -1Rcm1r 7076   +R cplr 7077   ·R cmr 7078   <R cltr 7079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-2o 6282  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-0nq0 7202  df-plq0 7203  df-mq0 7204  df-inp 7242  df-i1p 7243  df-iplp 7244  df-imp 7245  df-iltp 7246  df-enr 7502  df-nr 7503  df-plr 7504  df-mr 7505  df-ltr 7506  df-0r 7507  df-1r 7508  df-m1r 7509
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7576
  Copyright terms: Public domain W3C validator