Theorem caucvgsrlemoffgt1 8130

Description: Lemma for caucvgsr 8133. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffgt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐺‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑚   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
2	1	r19.21bi 2632	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
3		ltasrg 8101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ (ℎ +R 𝑓) <R (ℎ +R 𝑔)))
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ (ℎ +R 𝑓) <R (ℎ +R 𝑔)))
5	1	caucvgsrlemasr 8121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
7		caucvgsr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
8	7	ffvelcdmda 5817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐹‘𝑚) ∈ R)
9		1sr 8082	. . . . . . . 8 ⊢ 1R ∈ R
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 1R ∈ R)
11		addcomsrg 8086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
13	4, 6, 8, 10, 12	caovord2d 6232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹‘𝑚) +R 1R)))
14	2, 13	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹‘𝑚) +R 1R))
15		caucvgsr.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
16		caucvgsrlembnd.offset	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
17	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemoffval 8127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝑚) +R 1R))
18	14, 17	breqtrrd 4142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴))
19	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemofff 8128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)
20	19	ffvelcdmda 5817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐺‘𝑚) ∈ R)
21		addcomsrg 8086	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝑚) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺‘𝑚)))
22	20, 6, 21	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺‘𝑚)))
23	18, 22	breqtrd 4140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺‘𝑚)))
24		ltasrg 8101	. . . 4 ⊢ ((1R ∈ R ∧ (𝐺‘𝑚) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (1R <R (𝐺‘𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺‘𝑚))))
25	10, 20, 6, 24	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (1R <R (𝐺‘𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺‘𝑚))))
26	23, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 1R <R (𝐺‘𝑚))
27	26	ralrimiva 2617	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐺‘𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∀wral 2522  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  [cec 6778  Ncnpi 7603   <_N clti 7606   ~_Q ceq 7610  *_Qcrq 7615   <_Q cltq 7616  1_Pc1p 7623   +_P cpp 7624   ~_R cer 7627  Rcnr 7628  1_Rc1r 7630  -1_Rcm1r 7631   +_R cplr 7632   ·_R cmr 7633   <_R cltr 7634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-imp 7800  df-iltp 7801  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-mr 8060  df-ltr 8061  df-0r 8062  df-1r 8063  df-m1r 8064

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  8131