Theorem caucvgsrlemoffgt1 7866

Description: Lemma for caucvgsr 7869. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffgt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐺‘𝑚))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑚   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
2	1	r19.21bi 2585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
3		ltasrg 7837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ (ℎ +R 𝑓) <R (ℎ +R 𝑔)))
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ (ℎ +R 𝑓) <R (ℎ +R 𝑔)))
5	1	caucvgsrlemasr 7857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
7		caucvgsr.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
8	7	ffvelcdmda 5697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐹‘𝑚) ∈ R)
9		1sr 7818	. . . . . . . 8 ⊢ 1R ∈ R
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 1R ∈ R)
11		addcomsrg 7822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
13	4, 6, 8, 10, 12	caovord2d 6093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 <R (𝐹‘𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹‘𝑚) +R 1R)))
14	2, 13	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹‘𝑚) +R 1R))
15		caucvgsr.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
16		caucvgsrlembnd.offset	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
17	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemoffval 7863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝑚) +R 1R))
18	14, 17	breqtrrd 4061	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴))
19	7, 15, 1, 16	caucvgsrlemofff 7864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:N⟶R)
20	19	ffvelcdmda 5697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐺‘𝑚) ∈ R)
21		addcomsrg 7822	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝑚) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺‘𝑚)))
22	20, 6, 21	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → ((𝐺‘𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺‘𝑚)))
23	18, 22	breqtrd 4059	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺‘𝑚)))
24		ltasrg 7837	. . . 4 ⊢ ((1R ∈ R ∧ (𝐺‘𝑚) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (1R <R (𝐺‘𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺‘𝑚))))
25	10, 20, 6, 24	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → (1R <R (𝐺‘𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺‘𝑚))))
26	23, 25	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ N) → 1R <R (𝐺‘𝑚))
27	26	ralrimiva 2570	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐺‘𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∀wral 2475  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1_oc1o 6467  [cec 6590  Ncnpi 7339   <_N clti 7342   ~_Q ceq 7346  *_Qcrq 7351   <_Q cltq 7352  1_Pc1p 7359   +_P cpp 7360   ~_R cer 7363  Rcnr 7364  1_Rc1r 7366  -1_Rcm1r 7367   +_R cplr 7368   ·_R cmr 7369   <_R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-imp 7536  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-mr 7796  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799  df-m1r 7800

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  7867