Theorem caucvgsrlemoffval 8016

Description: Lemma for caucvgsr 8022. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑚   𝐹,𝑎   𝐽,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐽(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.offset	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))))
3		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐽))
4	3	oveq1d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
5	4	oveq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ 𝑎 = 𝐽) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐽 ∈ N)
8		caucvgsr.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
9	8	ffvelcdmda 5782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐹‘𝐽) ∈ R)
10		1sr 7971	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
11		addclsr 7973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐽) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R)
13		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
14	13	caucvgsrlemasr 8010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
16		m1r 7972	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
17		mulclsr 7974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
18	15, 16, 17	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
19		addclsr 7973	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
20	12, 18, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
21	2, 6, 7, 20	fvmptd 5727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐺‘𝐽) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
22	21	oveq1d 6033	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴))
23		addasssrg 7976	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
24	12, 18, 15, 23	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
25		addcomsrg 7975	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
26	18, 15, 25	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
27		pn0sr 7991	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
28	15, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
29	26, 28	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
30	29	oveq2d 6034	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R))
31		0idsr 7987	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
32	12, 31	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
33	30, 32	eqtrd 2264	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
34	22, 24, 33	3eqtrd 2268	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cab 2217  ∀wral 2510  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1_oc1o 6575  [cec 6700  Ncnpi 7492   <_N clti 7495   ~_Q ceq 7499  *_Qcrq 7504   <_Q cltq 7505  1_Pc1p 7512   +_P cpp 7513   ~_R cer 7516  Rcnr 7517  0_Rc0r 7518  1_Rc1r 7519  -1_Rcm1r 7520   +_R cplr 7521   ·_R cmr 7522   <_R cltr 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-imp 7689  df-enr 7946  df-nr 7947  df-plr 7948  df-mr 7949  df-ltr 7950  df-0r 7951  df-1r 7952  df-m1r 7953

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  8018  caucvgsrlemoffgt1  8019  caucvgsrlemoffres  8020