Theorem caucvgsrlemoffval 7856

Description: Lemma for caucvgsr 7862. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑚   𝐹,𝑎   𝐽,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐽(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.offset	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))))
3		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐽))
4	3	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
5	4	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ 𝑎 = 𝐽) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐽 ∈ N)
8		caucvgsr.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
9	8	ffvelcdmda 5693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐹‘𝐽) ∈ R)
10		1sr 7811	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
11		addclsr 7813	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐽) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R)
13		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
14	13	caucvgsrlemasr 7850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
16		m1r 7812	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
17		mulclsr 7814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
18	15, 16, 17	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
19		addclsr 7813	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
20	12, 18, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
21	2, 6, 7, 20	fvmptd 5638	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐺‘𝐽) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
22	21	oveq1d 5933	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴))
23		addasssrg 7816	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
24	12, 18, 15, 23	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
25		addcomsrg 7815	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
26	18, 15, 25	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
27		pn0sr 7831	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
28	15, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
29	26, 28	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
30	29	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R))
31		0idsr 7827	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
32	12, 31	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
33	30, 32	eqtrd 2226	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
34	22, 24, 33	3eqtrd 2230	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  1_oc1o 6462  [cec 6585  Ncnpi 7332   <_N clti 7335   ~_Q ceq 7339  *_Qcrq 7344   <_Q cltq 7345  1_Pc1p 7352   +_P cpp 7353   ~_R cer 7356  Rcnr 7357  0_Rc0r 7358  1_Rc1r 7359  -1_Rcm1r 7360   +_R cplr 7361   ·_R cmr 7362   <_R cltr 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-imp 7529  df-enr 7786  df-nr 7787  df-plr 7788  df-mr 7789  df-ltr 7790  df-0r 7791  df-1r 7792  df-m1r 7793

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7858  caucvgsrlemoffgt1  7859  caucvgsrlemoffres  7860