ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffval GIF version

Theorem caucvgsrlemoffval 7616
Description: Lemma for caucvgsr 7622. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffval ((𝜑𝐽N) → ((𝐺𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹𝐽) +R 1R))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑚   𝐹,𝑎   𝐽,𝑎   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐽(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffval
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.offset . . . . 5 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
21a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝐽N) → 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))))
3 fveq2 5421 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐽 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐽))
43oveq1d 5789 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐽 → ((𝐹𝑎) +R 1R) = ((𝐹𝐽) +R 1R))
54oveq1d 5789 . . . . 5 (𝑎 = 𝐽 → (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
65adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝐽N) ∧ 𝑎 = 𝐽) → (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
7 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝐽N) → 𝐽N)
8 caucvgsr.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:NR)
98ffvelrnda 5555 . . . . . 6 ((𝜑𝐽N) → (𝐹𝐽) ∈ R)
10 1sr 7571 . . . . . 6 1RR
11 addclsr 7573 . . . . . 6 (((𝐹𝐽) ∈ R ∧ 1RR) → ((𝐹𝐽) +R 1R) ∈ R)
129, 10, 11sylancl 409 . . . . 5 ((𝜑𝐽N) → ((𝐹𝐽) +R 1R) ∈ R)
13 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
1413caucvgsrlemasr 7610 . . . . . . 7 (𝜑𝐴R)
1514adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐽N) → 𝐴R)
16 m1r 7572 . . . . . 6 -1RR
17 mulclsr 7574 . . . . . 6 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
1815, 16, 17sylancl 409 . . . . 5 ((𝜑𝐽N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
19 addclsr 7573 . . . . 5 ((((𝐹𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
2012, 18, 19syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑𝐽N) → (((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
212, 6, 7, 20fvmptd 5502 . . 3 ((𝜑𝐽N) → (𝐺𝐽) = (((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
2221oveq1d 5789 . 2 ((𝜑𝐽N) → ((𝐺𝐽) +R 𝐴) = ((((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴))
23 addasssrg 7576 . . 3 ((((𝐹𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R𝐴R) → ((((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
2412, 18, 15, 23syl3anc 1216 . 2 ((𝜑𝐽N) → ((((𝐹𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
25 addcomsrg 7575 . . . . . 6 (((𝐴 ·R -1R) ∈ R𝐴R) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
2618, 15, 25syl2anc 408 . . . . 5 ((𝜑𝐽N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
27 pn0sr 7591 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
2815, 27syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝐽N) → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
2926, 28eqtrd 2172 . . . 4 ((𝜑𝐽N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
3029oveq2d 5790 . . 3 ((𝜑𝐽N) → (((𝐹𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = (((𝐹𝐽) +R 1R) +R 0R))
31 0idsr 7587 . . . 4 (((𝐹𝐽) +R 1R) ∈ R → (((𝐹𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹𝐽) +R 1R))
3212, 31syl 14 . . 3 ((𝜑𝐽N) → (((𝐹𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹𝐽) +R 1R))
3330, 32eqtrd 2172 . 2 ((𝜑𝐽N) → (((𝐹𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = ((𝐹𝐽) +R 1R))
3422, 24, 333eqtrd 2176 1 ((𝜑𝐽N) → ((𝐺𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹𝐽) +R 1R))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  wral 2416  cop 3530   class class class wbr 3929  cmpt 3989  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  [cec 6427  Ncnpi 7092   <N clti 7095   ~Q ceq 7099  *Qcrq 7104   <Q cltq 7105  1Pc1p 7112   +P cpp 7113   ~R cer 7116  Rcnr 7117  0Rc0r 7118  1Rc1r 7119  -1Rcm1r 7120   +R cplr 7121   ·R cmr 7122   <R cltr 7123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-imp 7289  df-enr 7546  df-nr 7547  df-plr 7548  df-mr 7549  df-ltr 7550  df-0r 7551  df-1r 7552  df-m1r 7553
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  7618  caucvgsrlemoffgt1  7619  caucvgsrlemoffres  7620
  Copyright terms: Public domain W3C validator