Theorem caucvgsrlemoffval 8004

Description: Lemma for caucvgsr 8010. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsr.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ N ∀𝑘 ∈ N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) <R ((𝐹‘𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹‘𝑘) <R ((𝐹‘𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
caucvgsrlembnd.offset	⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemoffval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑚   𝐹,𝑎   𝐽,𝑎   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)   𝐽(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlembnd.offset	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐺 = (𝑎 ∈ N ↦ (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R))))
3		fveq2 5633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐽))
4	3	oveq1d 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → ((𝐹‘𝑎) +R 1R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
5	4	oveq1d 6026	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐽 → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) ∧ 𝑎 = 𝐽) → (((𝐹‘𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐽 ∈ N)
8		caucvgsr.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
9	8	ffvelcdmda 5776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐹‘𝐽) ∈ R)
10		1sr 7959	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
11		addclsr 7961	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐽) ∈ R ∧ 1R ∈ R) → ((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R)
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R)
13		caucvgsrlembnd.bnd	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 𝐴 <R (𝐹‘𝑚))
14	13	caucvgsrlemasr 7998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ R)
15	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → 𝐴 ∈ R)
16		m1r 7960	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
17		mulclsr 7962	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
18	15, 16, 17	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
19		addclsr 7961	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
20	12, 18, 19	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) ∈ R)
21	2, 6, 7, 20	fvmptd 5721	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐺‘𝐽) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
22	21	oveq1d 6026	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴))
23		addasssrg 7964	. . 3 ⊢ ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R ∧ (𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
24	12, 18, 15, 23	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)) +R 𝐴) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)))
25		addcomsrg 7963	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
26	18, 15, 25	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
27		pn0sr 7979	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
28	15, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
29	26, 28	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
30	29	oveq2d 6027	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R))
31		0idsr 7975	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐽) +R 1R) ∈ R → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
32	12, 31	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R 0R) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
33	30, 32	eqtrd 2262	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → (((𝐹‘𝐽) +R 1R) +R ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴)) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))
34	22, 24, 33	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ N) → ((𝐺‘𝐽) +R 𝐴) = ((𝐹‘𝐽) +R 1R))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ⟨cop 3670   class class class wbr 4084   ↦ cmpt 4146  ⟶wf 5318  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  1_oc1o 6568  [cec 6693  Ncnpi 7480   <_N clti 7483   ~_Q ceq 7487  *_Qcrq 7492   <_Q cltq 7493  1_Pc1p 7500   +_P cpp 7501   ~_R cer 7504  Rcnr 7505  0_Rc0r 7506  1_Rc1r 7507  -1_Rcm1r 7508   +_R cplr 7509   ·_R cmr 7510   <_R cltr 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-eprel 4382  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-irdg 6529  df-1o 6575  df-2o 6576  df-oadd 6579  df-omul 6580  df-er 6695  df-ec 6697  df-qs 6701  df-ni 7512  df-pli 7513  df-mi 7514  df-lti 7515  df-plpq 7552  df-mpq 7553  df-enq 7555  df-nqqs 7556  df-plqqs 7557  df-mqqs 7558  df-1nqqs 7559  df-rq 7560  df-ltnqqs 7561  df-enq0 7632  df-nq0 7633  df-0nq0 7634  df-plq0 7635  df-mq0 7636  df-inp 7674  df-i1p 7675  df-iplp 7676  df-imp 7677  df-enr 7934  df-nr 7935  df-plr 7936  df-mr 7937  df-ltr 7938  df-0r 7939  df-1r 7940  df-m1r 7941

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffcau  8006  caucvgsrlemoffgt1  8007  caucvgsrlemoffres  8008