Theorem caucvgsrlemcl 7856

Description: Lemma for caucvgsr 7869. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7862 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsrlemcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsrlemcl.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑦,𝐴   𝑚,𝐹   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemcl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2	1	ffvelcdmda 5697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐹‘𝐴) ∈ R)
3		0lt1sr 7832	. . . . 5 ⊢ 0R <R 1R
4		caucvgsrlemcl.gt1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
5		fveq2 5558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝐴))
6	5	breq2d 4045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ 1R <R (𝐹‘𝐴)))
7	6	rspcv 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚) → 1R <R (𝐹‘𝐴)))
8	4, 7	mpan9 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → 1R <R (𝐹‘𝐴))
9		ltsosr 7831	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
10		ltrelsr 7805	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
11	9, 10	sotri 5065	. . . . 5 ⊢ ((0R <R 1R ∧ 1R <R (𝐹‘𝐴)) → 0R <R (𝐹‘𝐴))
12	3, 8, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → 0R <R (𝐹‘𝐴))
13		srpospr 7850	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ R ∧ 0R <R (𝐹‘𝐴)) → ∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴))
14	2, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → ∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴))
15		eqcom 2198	. . . 4 ⊢ ([⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
16	15	reubii 2683	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴) ↔ ∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
17	14, 16	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → ∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
18		riotacl 5892	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
19	17, 18	syl 14	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃!wreu 2477  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  ℩crio 5876  (class class class)co 5922  [cec 6590  Ncnpi 7339  Pcnp 7358  1_Pc1p 7359   +_P cpp 7360   ~_R cer 7363  Rcnr 7364  0_Rc0r 7365  1_Rc1r 7366   <_R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7858  caucvgsrlemf  7859