Theorem caucvgsrlemcl 8008

Description: Lemma for caucvgsr 8021. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 8014 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsrlemcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsrlemcl.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑦,𝐴   𝑚,𝐹   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemcl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2	1	ffvelcdmda 5782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐹‘𝐴) ∈ R)
3		0lt1sr 7984	. . . . 5 ⊢ 0R <R 1R
4		caucvgsrlemcl.gt1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
5		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝐴))
6	5	breq2d 4100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ 1R <R (𝐹‘𝐴)))
7	6	rspcv 2906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚) → 1R <R (𝐹‘𝐴)))
8	4, 7	mpan9 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → 1R <R (𝐹‘𝐴))
9		ltsosr 7983	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
10		ltrelsr 7957	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
11	9, 10	sotri 5132	. . . . 5 ⊢ ((0R <R 1R ∧ 1R <R (𝐹‘𝐴)) → 0R <R (𝐹‘𝐴))
12	3, 8, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → 0R <R (𝐹‘𝐴))
13		srpospr 8002	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ R ∧ 0R <R (𝐹‘𝐴)) → ∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴))
14	2, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → ∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴))
15		eqcom 2233	. . . 4 ⊢ ([⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
16	15	reubii 2720	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴) ↔ ∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
17	14, 16	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → ∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
18		riotacl 5986	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
19	17, 18	syl 14	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃!wreu 2512  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  ℩crio 5969  (class class class)co 6017  [cec 6699  Ncnpi 7491  Pcnp 7510  1_Pc1p 7511   +_P cpp 7512   ~_R cer 7515  Rcnr 7516  0_Rc0r 7517  1_Rc1r 7518   <_R cltr 7522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-iplp 7687  df-iltp 7689  df-enr 7945  df-nr 7946  df-ltr 7949  df-0r 7950  df-1r 7951

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  8010  caucvgsrlemf  8011