ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemcl GIF version

Theorem caucvgsrlemcl 7709
Description: Lemma for caucvgsr 7722. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7715 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsrlemcl.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsrlemcl.gt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemcl ((𝜑𝐴N) → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑦,𝐴   𝑚,𝐹   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemcl.f . . . . 5 (𝜑𝐹:NR)
21ffvelrnda 5602 . . . 4 ((𝜑𝐴N) → (𝐹𝐴) ∈ R)
3 0lt1sr 7685 . . . . 5 0R <R 1R
4 caucvgsrlemcl.gt1 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
5 fveq2 5468 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐴 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝐴))
65breq2d 3977 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐴 → (1R <R (𝐹𝑚) ↔ 1R <R (𝐹𝐴)))
76rspcv 2812 . . . . . 6 (𝐴N → (∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚) → 1R <R (𝐹𝐴)))
84, 7mpan9 279 . . . . 5 ((𝜑𝐴N) → 1R <R (𝐹𝐴))
9 ltsosr 7684 . . . . . 6 <R Or R
10 ltrelsr 7658 . . . . . 6 <R ⊆ (R × R)
119, 10sotri 4981 . . . . 5 ((0R <R 1R ∧ 1R <R (𝐹𝐴)) → 0R <R (𝐹𝐴))
123, 8, 11sylancr 411 . . . 4 ((𝜑𝐴N) → 0R <R (𝐹𝐴))
13 srpospr 7703 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ R ∧ 0R <R (𝐹𝐴)) → ∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴))
142, 12, 13syl2anc 409 . . 3 ((𝜑𝐴N) → ∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴))
15 eqcom 2159 . . . 4 ([⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
1615reubii 2642 . . 3 (∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴) ↔ ∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
1714, 16sylib 121 . 2 ((𝜑𝐴N) → ∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
18 riotacl 5794 . 2 (∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
1917, 18syl 14 1 ((𝜑𝐴N) → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  ∃!wreu 2437  cop 3563   class class class wbr 3965  wf 5166  cfv 5170  crio 5779  (class class class)co 5824  [cec 6478  Ncnpi 7192  Pcnp 7211  1Pc1p 7212   +P cpp 7213   ~R cer 7216  Rcnr 7217  0Rc0r 7218  1Rc1r 7219   <R cltr 7223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-iltp 7390  df-enr 7646  df-nr 7647  df-ltr 7650  df-0r 7651  df-1r 7652
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7711  caucvgsrlemf  7712
  Copyright terms: Public domain W3C validator