Theorem caucvgsrlemcl 8104

Description: Lemma for caucvgsr 8117. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 8110 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsrlemcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
caucvgsrlemcl.gt1	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑦,𝐴   𝑚,𝐹   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemcl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:N⟶R)
2	1	ffvelcdmda 5812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐹‘𝐴) ∈ R)
3		0lt1sr 8080	. . . . 5 ⊢ 0R <R 1R
4		caucvgsrlemcl.gt1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚))
5		fveq2 5670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝐴))
6	5	breq2d 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (1R <R (𝐹‘𝑚) ↔ 1R <R (𝐹‘𝐴)))
7	6	rspcv 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ N → (∀𝑚 ∈ N 1R <R (𝐹‘𝑚) → 1R <R (𝐹‘𝐴)))
8	4, 7	mpan9 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → 1R <R (𝐹‘𝐴))
9		ltsosr 8079	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
10		ltrelsr 8053	. . . . . 6 ⊢ <R ⊆ (R × R)
11	9, 10	sotri 5158	. . . . 5 ⊢ ((0R <R 1R ∧ 1R <R (𝐹‘𝐴)) → 0R <R (𝐹‘𝐴))
12	3, 8, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → 0R <R (𝐹‘𝐴))
13		srpospr 8098	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ R ∧ 0R <R (𝐹‘𝐴)) → ∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴))
14	2, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → ∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴))
15		eqcom 2234	. . . 4 ⊢ ([⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴) ↔ (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
16	15	reubii 2731	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹‘𝐴) ↔ ∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
17	14, 16	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → ∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
18		riotacl 6019	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
19	17, 18	syl 14	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ N) → (℩𝑦 ∈ P (𝐹‘𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃!wreu 2522  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  ℩crio 6002  (class class class)co 6050  [cec 6765  Ncnpi 7587  Pcnp 7606  1_Pc1p 7607   +_P cpp 7608   ~_R cer 7611  Rcnr 7612  0_Rc0r 7613  1_Rc1r 7614   <_R cltr 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-iltp 7785  df-enr 8041  df-nr 8042  df-ltr 8045  df-0r 8046  df-1r 8047

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  8106  caucvgsrlemf  8107