ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemcl GIF version

Theorem caucvgsrlemcl 7561
Description: Lemma for caucvgsr 7574. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7567 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsrlemcl.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsrlemcl.gt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemcl ((𝜑𝐴N) → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑦,𝐴   𝑚,𝐹   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemcl.f . . . . 5 (𝜑𝐹:NR)
21ffvelrnda 5521 . . . 4 ((𝜑𝐴N) → (𝐹𝐴) ∈ R)
3 0lt1sr 7537 . . . . 5 0R <R 1R
4 caucvgsrlemcl.gt1 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
5 fveq2 5387 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐴 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝐴))
65breq2d 3909 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐴 → (1R <R (𝐹𝑚) ↔ 1R <R (𝐹𝐴)))
76rspcv 2757 . . . . . 6 (𝐴N → (∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚) → 1R <R (𝐹𝐴)))
84, 7mpan9 277 . . . . 5 ((𝜑𝐴N) → 1R <R (𝐹𝐴))
9 ltsosr 7536 . . . . . 6 <R Or R
10 ltrelsr 7510 . . . . . 6 <R ⊆ (R × R)
119, 10sotri 4902 . . . . 5 ((0R <R 1R ∧ 1R <R (𝐹𝐴)) → 0R <R (𝐹𝐴))
123, 8, 11sylancr 408 . . . 4 ((𝜑𝐴N) → 0R <R (𝐹𝐴))
13 srpospr 7555 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ R ∧ 0R <R (𝐹𝐴)) → ∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴))
142, 12, 13syl2anc 406 . . 3 ((𝜑𝐴N) → ∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴))
15 eqcom 2117 . . . 4 ([⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
1615reubii 2591 . . 3 (∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴) ↔ ∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
1714, 16sylib 121 . 2 ((𝜑𝐴N) → ∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
18 riotacl 5710 . 2 (∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
1917, 18syl 14 1 ((𝜑𝐴N) → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  ∃!wreu 2393  cop 3498   class class class wbr 3897  wf 5087  cfv 5091  crio 5695  (class class class)co 5740  [cec 6393  Ncnpi 7044  Pcnp 7063  1Pc1p 7064   +P cpp 7065   ~R cer 7068  Rcnr 7069  0Rc0r 7070  1Rc1r 7071   <R cltr 7075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-i1p 7239  df-iplp 7240  df-iltp 7242  df-enr 7498  df-nr 7499  df-ltr 7502  df-0r 7503  df-1r 7504
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7563  caucvgsrlemf  7564
  Copyright terms: Public domain W3C validator