ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemcl GIF version

Theorem caucvgsrlemcl 7313
Description: Lemma for caucvgsr 7326. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7319 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsrlemcl.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsrlemcl.gt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemcl ((𝜑𝐴N) → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑦,𝐴   𝑚,𝐹   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemcl.f . . . . 5 (𝜑𝐹:NR)
21ffvelrnda 5418 . . . 4 ((𝜑𝐴N) → (𝐹𝐴) ∈ R)
3 0lt1sr 7290 . . . . 5 0R <R 1R
4 caucvgsrlemcl.gt1 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚))
5 fveq2 5289 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐴 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝐴))
65breq2d 3849 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐴 → (1R <R (𝐹𝑚) ↔ 1R <R (𝐹𝐴)))
76rspcv 2718 . . . . . 6 (𝐴N → (∀𝑚N 1R <R (𝐹𝑚) → 1R <R (𝐹𝐴)))
84, 7mpan9 275 . . . . 5 ((𝜑𝐴N) → 1R <R (𝐹𝐴))
9 ltsosr 7289 . . . . . 6 <R Or R
10 ltrelsr 7263 . . . . . 6 <R ⊆ (R × R)
119, 10sotri 4814 . . . . 5 ((0R <R 1R ∧ 1R <R (𝐹𝐴)) → 0R <R (𝐹𝐴))
123, 8, 11sylancr 405 . . . 4 ((𝜑𝐴N) → 0R <R (𝐹𝐴))
13 srpospr 7307 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ R ∧ 0R <R (𝐹𝐴)) → ∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴))
142, 12, 13syl2anc 403 . . 3 ((𝜑𝐴N) → ∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴))
15 eqcom 2090 . . . 4 ([⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
1615reubii 2552 . . 3 (∃!𝑦P [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R = (𝐹𝐴) ↔ ∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
1714, 16sylib 120 . 2 ((𝜑𝐴N) → ∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R )
18 riotacl 5604 . 2 (∃!𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
1917, 18syl 14 1 ((𝜑𝐴N) → (𝑦P (𝐹𝐴) = [⟨(𝑦 +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  ∃!wreu 2361  cop 3444   class class class wbr 3837  wf 4998  cfv 5002  crio 5589  (class class class)co 5634  [cec 6270  Ncnpi 6810  Pcnp 6829  1Pc1p 6830   +P cpp 6831   ~R cer 6834  Rcnr 6835  0Rc0r 6836  1Rc1r 6837   <R cltr 6841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-iplp 7006  df-iltp 7008  df-enr 7251  df-nr 7252  df-ltr 7255  df-0r 7256  df-1r 7257
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7315  caucvgsrlemf  7316
  Copyright terms: Public domain W3C validator