Theorem funimaexglem 5404

Description: Lemma for funimaexg 5405. It constitutes the interesting part of funimaexg 5405, in which 𝐵 ⊆ dom 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funimaexglem	⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem funimaexglem

Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 5345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
2	1	simprbi 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐴 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
3	2	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
4		ssralv 3288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
5	4	3ad2ant3 1044	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
6	3, 5	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
7	6	alrimiv 1920	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
8		sseq1 3247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ dom 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
9	8	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 = 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝑏 ⊆ dom 𝐴)
10	9	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝑏 ⊆ dom 𝐴)
11		simp1 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
12	10, 11	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴))
13		dffun8 5346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
14	13	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Fun 𝐴 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
16		ssel 3218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ⊆ dom 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑥 ∈ dom 𝐴))
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑏 → 𝑥 ∈ dom 𝐴))
18		rsp 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐴 → ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
19	15, 17, 18	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑏 → ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
20	19	ralrimiv 2602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑏 ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
21		zfrep6 4201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑏 ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝑏 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦)
22	12, 20, 21	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝑏 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦)
23		raleq 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑏 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦))
24	23	exbidv 1871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝑏 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦))
25	24	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝑏 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦))
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦)
27	26	3com12 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = 𝐵 ∧ Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦)
28	27	3expib 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦))
29	28	vtocleg 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦))
30	29	3impib 1225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦)
31	30	3com12 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦)
32		df-rex 2514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑥𝐴𝑦))
33		exancom 1654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑥𝐴𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
34	32, 33	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
35	34	ralbii 2536	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
36	35	exbii 1651	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
37	31, 36	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
38		19.29 1666	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) → ∃𝑧(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)))
39		nfcv 2372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
40		nfmo1 2089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦
41	39, 40	nfralxy 2568	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦
42		nfe1 1542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)
43	39, 42	nfralxy 2568	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)
44	41, 43	nfan 1611	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
45		r19.26 2657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)))
46		mopick 2156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) → (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
47	46	ralimi 2593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
48	45, 47	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
49	44, 48	alrimi 1568	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) → ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
50	49	eximi 1646	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧(∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) → ∃𝑧∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
51	38, 50	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑧∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) → ∃𝑧∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
52	7, 37, 51	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
53		r19.23v 2640	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
54	53	albii 1516	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
55	54	exbii 1651	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑧∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
56	52, 55	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
57		abss 3293	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
58	57	exbii 1651	. . . 4 ⊢ (∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦 → 𝑦 ∈ 𝑧))
59	56, 58	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
60		dfima2 5070	. . . . 5 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦}
61	60	sseq1i 3250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 “ 𝐵) ⊆ 𝑧 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
62	61	exbii 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑧(𝐴 “ 𝐵) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
63	59, 62	sylibr 134	. 2 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧(𝐴 “ 𝐵) ⊆ 𝑧)
64		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
65	64	ssex 4221	. . 3 ⊢ ((𝐴 “ 𝐵) ⊆ 𝑧 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
66	65	exlimiv 1644	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝐴 “ 𝐵) ⊆ 𝑧 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
67	63, 66	syl 14	1 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002  ∀wal 1393   = wceq 1395  ∃wex 1538  ∃!weu 2077  ∃*wmo 2078   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  dom cdm 4719   “ cima 4722  Rel wrel 4724  Fun wfun 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320

This theorem is referenced by:  funimaexg  5405