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Theorem funimaexglem 5318
Description: Lemma for funimaexg 5319. It constitutes the interesting part of funimaexg 5319, in which 𝐵 ⊆ dom 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
funimaexglem ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem funimaexglem
Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun7 5262 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
21simprbi 275 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐴 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
323ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
4 ssralv 3234 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ dom 𝐴 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
543ad2ant3 1022 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦))
63, 5mpd 13 . . . . . . 7 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
76alrimiv 1885 . . . . . 6 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∀𝑧𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦)
8 sseq1 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ⊆ dom 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴))
98biimpar 297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝑏 ⊆ dom 𝐴)
1093adant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → 𝑏 ⊆ dom 𝐴)
11 simp1 999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → Fun 𝐴)
1210, 11jca 306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴))
13 dffun8 5263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
1413simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝐴 → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
1514adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
16 ssel 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ⊆ dom 𝐴 → (𝑥𝑏𝑥 ∈ dom 𝐴))
1716adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → (𝑥𝑏𝑥 ∈ dom 𝐴))
18 rsp 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ dom 𝐴∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐴 → ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
1915, 17, 18sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → (𝑥𝑏 → ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦))
2019ralrimiv 2562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ⊆ dom 𝐴 ∧ Fun 𝐴) → ∀𝑥𝑏 ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦)
21 zfrep6 4135 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑏 ∃!𝑦 𝑥𝐴𝑦 → ∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
2212, 20, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
23 raleq 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
2423exbidv 1836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
25243ad2ant2 1021 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (∃𝑧𝑥𝑏𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
2622, 25mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐴𝑏 = 𝐵𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
27263com12 1209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = 𝐵 ∧ Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
28273expib 1208 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → ((Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
2928vtocleg 2823 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐶 → ((Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦))
30293impib 1203 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐶 ∧ Fun 𝐴𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
31303com12 1209 . . . . . . 7 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦)
32 df-rex 2474 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑧𝑥𝐴𝑦))
33 exancom 1619 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝑦𝑧𝑥𝐴𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3432, 33bitri 184 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3534ralbii 2496 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3635exbii 1616 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑥𝐵𝑦𝑧 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
3731, 36sylib 122 . . . . . 6 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
38 19.29 1631 . . . . . . 7 ((∀𝑧𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑧(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)))
39 nfcv 2332 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝐵
40 nfmo1 2050 . . . . . . . . . . 11 𝑦∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦
4139, 40nfralxy 2528 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦
42 nfe1 1507 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)
4339, 42nfralxy 2528 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)
4441, 43nfan 1576 . . . . . . . . 9 𝑦(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
45 r19.26 2616 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐵 (∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) ↔ (∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)))
46 mopick 2116 . . . . . . . . . . 11 ((∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
4746ralimi 2553 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐵 (∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
4845, 47sylbir 135 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
4944, 48alrimi 1533 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∀𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5049eximi 1611 . . . . . . 7 (∃𝑧(∀𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5138, 50syl 14 . . . . . 6 ((∀𝑧𝑥𝐵 ∃*𝑦 𝑥𝐴𝑦 ∧ ∃𝑧𝑥𝐵𝑦(𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
527, 37, 51syl2anc 411 . . . . 5 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
53 r19.23v 2599 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧) ↔ (∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5453albii 1481 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧) ↔ ∀𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5554exbii 1616 . . . . 5 (∃𝑧𝑦𝑥𝐵 (𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧) ↔ ∃𝑧𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5652, 55sylib 122 . . . 4 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
57 abss 3239 . . . . 5 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5857exbii 1616 . . . 4 (∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧𝑦(∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦𝑦𝑧))
5956, 58sylibr 134 . . 3 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
60 dfima2 4990 . . . . 5 (𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦}
6160sseq1i 3196 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
6261exbii 1616 . . 3 (∃𝑧(𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧{𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑥𝐴𝑦} ⊆ 𝑧)
6359, 62sylibr 134 . 2 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → ∃𝑧(𝐴𝐵) ⊆ 𝑧)
64 vex 2755 . . . 4 𝑧 ∈ V
6564ssex 4155 . . 3 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 → (𝐴𝐵) ∈ V)
6665exlimiv 1609 . 2 (∃𝑧(𝐴𝐵) ⊆ 𝑧 → (𝐴𝐵) ∈ V)
6763, 66syl 14 1 ((Fun 𝐴𝐵𝐶𝐵 ⊆ dom 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980  wal 1362   = wceq 1364  wex 1503  ∃!weu 2038  ∃*wmo 2039  wcel 2160  {cab 2175  wral 2468  wrex 2469  Vcvv 2752  wss 3144   class class class wbr 4018  dom cdm 4644  cima 4647  Rel wrel 4649  Fun wfun 5229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-fun 5237
This theorem is referenced by:  funimaexg  5319
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