Theorem elmapi 6830

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2		elmapg 6821	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
4	3	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟶wf 5317  (class class class)co 6010   ↑_𝑚 cmap 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-map 6810

This theorem is referenced by:  elmapfn  6831  elmapfun  6832  elmapssres  6833  mapsspm  6842  map0b  6847  mapss  6851  mapsncnv  6855  mapen  7020  mapxpen  7022  nninff  7305  ismkvnex  7338  nninfwlpoim  7362  nninfinfwlpo  7363  finacn  7402  acnccim  7474  psrbagf  14655  psrbagfi  14658  mplsubgfilemcl  14684  plycn  15457  dvply2g  15461  bj-charfunr  16282  2omap  16472  nninfalllem1  16488  nninfall  16489  nninfsellemdc  16490  nninfsellemqall  16495  nninfomnilem  16498  isomninnlem  16512  trilpo  16525  iswomninnlem  16531  iswomni0  16533  ismkvnnlem  16534  redcwlpo  16537  nconstwlpo  16548  neapmkv  16550