ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmapi GIF version

Theorem elmapi 6564
Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapi (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)

Proof of Theorem elmapi
StepHypRef Expression
1 elmapex 6563 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2 elmapg 6555 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶𝐵))
31, 2syl 14 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶𝐵))
43ibi 175 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480  Vcvv 2686  wf 5119  (class class class)co 5774  𝑚 cmap 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544
This theorem is referenced by:  elmapfn  6565  elmapfun  6566  elmapssres  6567  mapsspm  6576  map0b  6581  mapss  6585  mapsncnv  6589  mapen  6740  mapxpen  6742  ismkvnex  7029  nninff  13212  nninfalllem1  13217  nninfall  13218  nninfsellemdc  13220  nninfsellemqall  13225  nninfomnilem  13228  isomninnlem  13239  trilpo  13250
  Copyright terms: Public domain W3C validator