Theorem elmapi 6903

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6902	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2		elmapg 6894	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
4	3	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ⟶wf 5347  (class class class)co 6049   ↑_𝑚 cmap 6881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-map 6883

This theorem is referenced by:  elmapfn  6904  elmapfun  6905  elmapssres  6906  mapsspm  6915  map0b  6920  mapss  6925  mapsncnv  6929  mapen  7098  mapxpen  7100  mapunen  7103  2omap  7268  nninff  7412  ismkvnex  7445  nninfwlpoim  7469  nninfinfwlpo  7470  finacn  7510  acnccim  7585  psrbagf  14810  psrbagfi  14815  mplsubgfilemcl  14846  plycn  15619  dvply2g  15623  bj-charfunr  16572  nninfalllem1  16778  nninfall  16779  nninfsellemdc  16780  nninfsellemqall  16785  nninfomnilem  16788  isomninnlem  16806  trilpo  16819  iswomninnlem  16826  iswomni0  16828  ismkvnnlem  16829  redcwlpo  16832  nconstwlpo  16843  neapmkv  16845