Theorem elmapi 6834

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2		elmapg 6825	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
4	3	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ⟶wf 5320  (class class class)co 6013   ↑_𝑚 cmap 6812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-map 6814

This theorem is referenced by:  elmapfn  6835  elmapfun  6836  elmapssres  6837  mapsspm  6846  map0b  6851  mapss  6855  mapsncnv  6859  mapen  7027  mapxpen  7029  nninff  7315  ismkvnex  7348  nninfwlpoim  7372  nninfinfwlpo  7373  finacn  7412  acnccim  7484  psrbagf  14677  psrbagfi  14680  mplsubgfilemcl  14706  plycn  15479  dvply2g  15483  bj-charfunr  16355  2omap  16544  nninfalllem1  16560  nninfall  16561  nninfsellemdc  16562  nninfsellemqall  16567  nninfomnilem  16570  isomninnlem  16584  trilpo  16597  iswomninnlem  16603  iswomni0  16605  ismkvnnlem  16606  redcwlpo  16609  nconstwlpo  16620  neapmkv  16622