Theorem elmapi 6949

Description: A mapping is a function, forward direction only with superfluous antecedent removed. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapi	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem elmapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 6948	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
2		elmapg 6940	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝐴:𝐶⟶𝐵))
4	3	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟶wf 5376  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-map 6929

This theorem is used by:  mapfset  6950  elmapfn  6957  elmapfun  6958  elmapssres  6959  mapsspm  6968  map0b  6973  mapss  6979  mapsncnv  6983  mapen  7152  mapxpen  7154  mapunen  7157  2omap  7325  nninff  7469  ismkvnex  7502  nninfwlpoim  7526  nninfinfwlpo  7527  finacn  7567  acnccim  7645  psrbagf  15165  psrbagfi  15167  psrbagdceq  15168  psrbagaddclfi  15178  psrbagleadd1fi  15179  psrbaglefimap  15183  psrbagfidceq  15184  psrbagmaxlem1  15185  psrbagmaxlem1x  15188  psrbagmaxlem1y  15189  psrbagdcle  15191  psrbagfsuppub  15192  mplsubrglemcl  15249  plycn  16021  dvply2g  16025  bj-charfunr  17074  nninfalllem1  17290  nninfall  17291  nninfsellemdc  17292  nninfsellemqall  17297  nninfomnilem  17300  isomninnlem  17318  trilpo  17332  iswomninnlem  17339  iswomni0  17341  ismkvnnlem  17342  redcwlpo  17345  nconstwlpo  17356  neapmkv  17358