Theorem dvdsflip 12206

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsflip.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2		dvdsflip.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
3	2	eleq2i 2273	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
4		dvdsdivcl 12205	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
5	3, 4	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
6	5, 2	eleqtrrdi 2300	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
7	2	eleq2i 2273	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 12205	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	7, 8	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10	9, 2	eleqtrrdi 2300	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
11		ssrab2 3279	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
12	2, 11	eqsstri 3226	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
13	12	sseli 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℕ)
14	12	sseli 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℕ)
15	13, 14	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
16		nncn 9051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
18		nncn 9051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19	18	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20		nncn 9051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
21	20	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
22		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℕ)
23	22	nnap0d 9089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 # 0)
24	17, 19, 21, 23	divmulap3d 8905	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
25		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	25	nnap0d 9089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 # 0)
27	17, 21, 19, 26	divmulap2d 8904	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
28	24, 27	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
29	15, 28	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
30		eqcom 2208	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
31		eqcom 2208	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
32	29, 30, 31	3bitr4g 223	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
33	1, 6, 10, 32	f1o2d 6158	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {crab 2489   class class class wbr 4047   ↦ cmpt 4109  –1-1-onto→wf1o 5275  (class class class)co 5951  ℂcc 7930   · cmul 7937   / cdiv 8752  ℕcn 9043   ∥ cdvds 12142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-dvds 12143

This theorem is referenced by:  phisum  12607