ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsflip GIF version

Theorem dvdsflip 11827
Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsflip.a 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
dvdsflip.f 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dvdsflip (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsflip.f . 2 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2 dvdsflip.a . . . . 5 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
32eleq2i 2244 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
4 dvdsdivcl 11826 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
53, 4sylan2b 287 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
65, 2eleqtrrdi 2271 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
72eleq2i 2244 . . . 4 (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
8 dvdsdivcl 11826 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
97, 8sylan2b 287 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
109, 2eleqtrrdi 2271 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
11 ssrab2 3240 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
122, 11eqsstri 3187 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℕ
1312sseli 3151 . . . . 5 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℕ)
1412sseli 3151 . . . . 5 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℕ)
1513, 14anim12i 338 . . . 4 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
16 nncn 8903 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1716adantr 276 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
18 nncn 8903 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
1918ad2antrl 490 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20 nncn 8903 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
2120ad2antll 491 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
22 simprr 531 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℕ)
2322nnap0d 8941 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 # 0)
2417, 19, 21, 23divmulap3d 8758 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
25 simprl 529 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℕ)
2625nnap0d 8941 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 # 0)
2717, 21, 19, 26divmulap2d 8757 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
2824, 27bitr4d 191 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
2915, 28sylan2 286 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
30 eqcom 2179 . . 3 (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
31 eqcom 2179 . . 3 (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
3229, 30, 313bitr4g 223 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
331, 6, 10, 32f1o2d 6069 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4000  cmpt 4061  1-1-ontowf1o 5210  (class class class)co 5868  cc 7787   · cmul 7794   / cdiv 8605  cn 8895  cdvds 11765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-dvds 11766
This theorem is referenced by:  phisum  12210
  Copyright terms: Public domain W3C validator