Theorem dvdsflip 12565

Description: An involution of the divisors of a number. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsflip.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsflip.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dvdsflip	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvdsflip

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsflip.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁 / 𝑦))
2		dvdsflip.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
3	2	eleq2i 2301	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
4		dvdsdivcl 12564	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
5	3, 4	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
6	5, 2	eleqtrrdi 2328	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑦) ∈ 𝐴)
7	2	eleq2i 2301	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 12564	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	7, 8	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10	9, 2	eleqtrrdi 2328	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑁 / 𝑧) ∈ 𝐴)
11		ssrab2 3327	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
12	2, 11	eqsstri 3274	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℕ
13	12	sseli 3238	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℕ)
14	12	sseli 3238	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ℕ)
15	13, 14	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ))
16		nncn 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
18		nncn 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
19	18	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20		nncn 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
21	20	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
22		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℕ)
23	22	nnap0d 9303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑧 # 0)
24	17, 19, 21, 23	divmulap3d 9119	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
25		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	25	nnap0d 9303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → 𝑦 # 0)
27	17, 21, 19, 26	divmulap2d 9118	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑁 = (𝑦 · 𝑧)))
28	24, 27	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
29	15, 28	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑁 / 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧))
30		eqcom 2236	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ (𝑁 / 𝑧) = 𝑦)
31		eqcom 2236	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝑁 / 𝑦) ↔ (𝑁 / 𝑦) = 𝑧)
32	29, 30, 31	3bitr4g 223	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 = (𝑁 / 𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑁 / 𝑦)))
33	1, 6, 10, 32	f1o2d 6268	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  –1-1-onto→wf1o 5356  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   · cmul 8148   / cdiv 8966  ℕcn 9257   ∥ cdvds 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598  df-dvds 12502

This theorem is referenced by:  phisum  12966