Theorem fexd 5938

Description: If the domain of a mapping is a set, the function is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fexd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		fex 5937	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟶wf 5368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  suppsnopdc  6480  suppssrst  6491  seqf1oglem2a  10933  seqf1oglem2  10935  seqf1og  10936  hashf1lem1  11263  iswrd  11284  imasival  13604  imasbas  13605  imasplusg  13606  imasmulr  13607  imasaddfnlemg  13612  imasaddvallemg  13613  gzsumval  13687  gzsumsplit1r  13692  gzsumcl  13781  isghm  14023  gzsumreidx  14118  gzsumsubmcl  14119  gzsummhm  14122  gzsumshift  14126  gsumvalfi  14129  prdssgrpd  14168  iswlkg  16484  depindlem1  16661  depindlem2  16662