Theorem fnconstg 5543

Description: A cross product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fnconstg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Proof of Theorem fnconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5542	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		ffn 5489	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  {csn 3673   × cxp 4729   Fn wfn 5328  ⟶wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337

This theorem is referenced by:  fconst2g  5877  ofc1g  6266  ofc2g  6267  caofid0l  6271  caofid0r  6272  caofid1  6273  caofid2  6274  fczsupp0  6437  pwsplusgval  13439  pwsmulrval  13440  dvidlemap  15482  dvidrelem  15483  dvidsslem  15484  nninfsellemeqinf  16719