Theorem dvidsslem 15885

Description: Lemma for dvconstss 15890. Analogue of dvidlemap 15883 where 𝐹 is defined on an open subset of the real or complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidsslem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvidsslem.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvidsslem.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
dvidsslem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvidsslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
dvidsslem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidsslem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidsslem	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥, 𝑧)   𝐾(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem dvidsslem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidsslem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		ssidd 3269	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		dvidsslem.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
4		restsspw 13656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5	3, 4	eqsstri 3280	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑆
6		dvidsslem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
7	5, 6	sselid 3246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
8	7	elpwid 3700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
9		cnex 8304	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		pmss12g 6956	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	2, 8, 10, 1, 11	syl22anc 1279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvidsslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
14		fpmg 6955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
16	12, 15	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
17		dvfgg 15880	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
18	1, 16, 17	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
19		recnprss 15879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	20, 13, 8	dvbss 15877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
22		reldvg 15871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
23	20, 16, 22	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐹))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D 𝐹))
25		dvidsslem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26	25	cntoptop 15725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ Top
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
28		resttop 15362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
29	27, 1, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
30	3, 29	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
31		isopn3i 15327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
32	30, 6, 31	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
33	32	eqcomd 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((int‘𝐽)‘𝑋))
34	33	eleq2d 2308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
35	34	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋))
36		limcresi 15858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
37		dvidsslem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	8, 20	sstrd 3258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
40		cncfmptc 15788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
41	38, 39, 2, 40	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
43		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
44		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
45	42, 43, 44	cnmptlimc 15866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
46	36, 45	sselid 3246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
47		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
48	47	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥))
49		dvidsslem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
50	49	3exp2 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
51	50	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
52	48, 51	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
53	52	mpteq2dva 4221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
54		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋
55		resmpt 5111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
57	53, 56	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}))
58	57	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
59	46, 58	eleqtrrd 2318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
60		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
61	3, 25, 60, 20, 13, 8	eldvap 15874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
62	61	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
63	35, 59, 62	mpbir2and 957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵)
64		releldm 5017	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
65	24, 63, 64	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
66	21, 65	eqelssd 3267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
67	66	feq2d 5521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
68	18, 67	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
69	68	ffnd 5534	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
70		fnconstg 5590	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
71	37, 70	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
72	18	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
73	72	ffund 5537	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun (𝑆 D 𝐹))
74		funbrfvb 5743	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
75	73, 65, 74	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
76	63, 75	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
77		fvconst2g 5929	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
78	38, 77	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥))
80	69, 71, 79	eqfnfvd 5809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  {csn 3709  {cpr 3710   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  dom cdm 4774   ↾ cres 4776   ∘ ccom 4778  Rel wrel 4779  Fun wfun 5371   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ↑_pm cpm 6923  ℂcc 8178  ℝcr 8179   − cmin 8499   # cap 8912   / cdiv 9005  abscabs 11779   ↾_t crest 13646  MetOpencmopn 14962  Topctop 15189  intcnt 15285  –cn→ccncf 15762   lim_ℂ climc 15846   D cdv 15847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-rest 13648  df-topgen 13667  df-psmet 14964  df-xmet 14965  df-met 14966  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-top 15190  df-topon 15203  df-bases 15235  df-ntr 15288  df-cn 15380  df-cnp 15381  df-cncf 15763  df-limced 15848  df-dvap 15849

This theorem is used by:  dvconstss  15890