Theorem dvidsslem 15410

Description: Lemma for dvconstss 15415. Analogue of dvidlemap 15408 where 𝐹 is defined on an open subset of the real or complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidsslem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvidsslem.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvidsslem.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
dvidsslem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvidsslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
dvidsslem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidsslem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidsslem	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem dvidsslem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidsslem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		ssidd 3246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		dvidsslem.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
4		restsspw 13325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5	3, 4	eqsstri 3257	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑆
6		dvidsslem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
7	5, 6	sselid 3223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
8	7	elpwid 3661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
9		cnex 8149	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		pmss12g 6839	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	2, 8, 10, 1, 11	syl22anc 1272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvidsslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
14		fpmg 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
16	12, 15	sseldd 3226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
17		dvfgg 15405	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
19		recnprss 15404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	20, 13, 8	dvbss 15402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
22		reldvg 15396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
23	20, 16, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐹))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D 𝐹))
25		dvidsslem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26	25	cntoptop 15250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ Top
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
28		resttop 14887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
29	27, 1, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
30	3, 29	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
31		isopn3i 14852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
32	30, 6, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
33	32	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((int‘𝐽)‘𝑋))
34	33	eleq2d 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
35	34	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋))
36		limcresi 15383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
37		dvidsslem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	8, 20	sstrd 3235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
40		cncfmptc 15313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
41	38, 39, 2, 40	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
43		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
44		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
45	42, 43, 44	cnmptlimc 15391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
46	36, 45	sselid 3223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
47		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
48	47	elrab 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥))
49		dvidsslem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
50	49	3exp2 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
51	50	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
52	48, 51	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
53	52	mpteq2dva 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
54		ssrab2 3310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋
55		resmpt 5059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
57	53, 56	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}))
58	57	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
59	46, 58	eleqtrrd 2309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
60		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
61	3, 25, 60, 20, 13, 8	eldvap 15399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
62	61	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
63	35, 59, 62	mpbir2and 950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵)
64		releldm 4965	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
65	24, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
66	21, 65	eqelssd 3244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
67	66	feq2d 5467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
68	18, 67	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
69	68	ffnd 5480	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
70		fnconstg 5531	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
71	37, 70	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
72	18	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
73	72	ffund 5483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun (𝑆 D 𝐹))
74		funbrfvb 5682	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
75	73, 65, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
76	63, 75	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
77		fvconst2g 5863	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
78	38, 77	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥))
80	69, 71, 79	eqfnfvd 5743	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  𝒫 cpw 3650  {csn 3667  {cpr 3668   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148   × cxp 4721  dom cdm 4723   ↾ cres 4725   ∘ ccom 4727  Rel wrel 4728  Fun wfun 5318   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↑_pm cpm 6813  ℂcc 8023  ℝcr 8024   − cmin 8343   # cap 8754   / cdiv 8845  abscabs 11551   ↾_t crest 13315  MetOpencmopn 14548  Topctop 14714  intcnt 14810  –cn→ccncf 15287   lim_ℂ climc 15371   D cdv 15372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-ntr 14813  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-cncf 15288  df-limced 15373  df-dvap 15374

This theorem is referenced by:  dvconstss  15415