Theorem dvidsslem 15388

Description: Lemma for dvconstss 15393. Analogue of dvidlemap 15386 where 𝐹 is defined on an open subset of the real or complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidsslem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvidsslem.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvidsslem.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
dvidsslem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvidsslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
dvidsslem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidsslem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidsslem	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem dvidsslem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidsslem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		ssidd 3245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		dvidsslem.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
4		restsspw 13303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5	3, 4	eqsstri 3256	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑆
6		dvidsslem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
7	5, 6	sselid 3222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
8	7	elpwid 3660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
9		cnex 8139	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		pmss12g 6835	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	2, 8, 10, 1, 11	syl22anc 1272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvidsslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
14		fpmg 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
16	12, 15	sseldd 3225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
17		dvfgg 15383	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
19		recnprss 15382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	20, 13, 8	dvbss 15380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
22		reldvg 15374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
23	20, 16, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐹))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D 𝐹))
25		dvidsslem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26	25	cntoptop 15228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ Top
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
28		resttop 14865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
29	27, 1, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
30	3, 29	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
31		isopn3i 14830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
32	30, 6, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
33	32	eqcomd 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((int‘𝐽)‘𝑋))
34	33	eleq2d 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
35	34	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋))
36		limcresi 15361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
37		dvidsslem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	8, 20	sstrd 3234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
40		cncfmptc 15291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
41	38, 39, 2, 40	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
43		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
44		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
45	42, 43, 44	cnmptlimc 15369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
46	36, 45	sselid 3222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
47		breq1 4086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
48	47	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥))
49		dvidsslem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
50	49	3exp2 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
51	50	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
52	48, 51	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
53	52	mpteq2dva 4174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
54		ssrab2 3309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋
55		resmpt 5056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
57	53, 56	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}))
58	57	oveq1d 6025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
59	46, 58	eleqtrrd 2309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
60		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
61	3, 25, 60, 20, 13, 8	eldvap 15377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
62	61	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
63	35, 59, 62	mpbir2and 950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵)
64		releldm 4962	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
65	24, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
66	21, 65	eqelssd 3243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
67	66	feq2d 5464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
68	18, 67	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
69	68	ffnd 5477	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
70		fnconstg 5528	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
71	37, 70	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
72	18	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
73	72	ffund 5480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun (𝑆 D 𝐹))
74		funbrfvb 5679	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
75	73, 65, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
76	63, 75	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
77		fvconst2g 5860	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
78	38, 77	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥))
80	69, 71, 79	eqfnfvd 5740	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649  {csn 3666  {cpr 3667   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145   × cxp 4718  dom cdm 4720   ↾ cres 4722   ∘ ccom 4724  Rel wrel 4725  Fun wfun 5315   Fn wfn 5316  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ↑_pm cpm 6809  ℂcc 8013  ℝcr 8014   − cmin 8333   # cap 8744   / cdiv 8835  abscabs 11529   ↾_t crest 13293  MetOpencmopn 14526  Topctop 14692  intcnt 14788  –cn→ccncf 15265   lim_ℂ climc 15349   D cdv 15350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-map 6810  df-pm 6811  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-rest 13295  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-ntr 14791  df-cn 14883  df-cnp 14884  df-cncf 15266  df-limced 15351  df-dvap 15352

This theorem is referenced by:  dvconstss  15393