Theorem dvidsslem 15420

Description: Lemma for dvconstss 15425. Analogue of dvidlemap 15418 where 𝐹 is defined on an open subset of the real or complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidsslem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvidsslem.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvidsslem.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
dvidsslem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvidsslem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
dvidsslem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidsslem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidsslem	⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem dvidsslem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidsslem.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		ssidd 3248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		dvidsslem.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
4		restsspw 13334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5	3, 4	eqsstri 3259	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑆
6		dvidsslem.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
7	5, 6	sselid 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
8	7	elpwid 3663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
9		cnex 8156	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		pmss12g 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})) → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	2, 8, 10, 1, 11	syl22anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ ↑pm 𝑋) ⊆ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvidsslem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
14		fpmg 6843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ℂ ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑋))
16	12, 15	sseldd 3228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
17		dvfgg 15415	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
18	1, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
19		recnprss 15414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
21	20, 13, 8	dvbss 15412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
22		reldvg 15406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
23	20, 16, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D 𝐹))
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D 𝐹))
25		dvidsslem.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
26	25	cntoptop 15260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ Top
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
28		resttop 14897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
29	27, 1, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
30	3, 29	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
31		isopn3i 14862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
32	30, 6, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
33	32	eqcomd 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((int‘𝐽)‘𝑋))
34	33	eleq2d 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
35	34	biimpa 296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋))
36		limcresi 15393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
37		dvidsslem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
39	8, 20	sstrd 3237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
40		cncfmptc 15323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
41	38, 39, 2, 40	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
43		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
44		eqidd 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
45	42, 43, 44	cnmptlimc 15401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
46	36, 45	sselid 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
47		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
48	47	elrab 2962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥))
49		dvidsslem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
50	49	3exp2 1251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
51	50	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
52	48, 51	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
53	52	mpteq2dva 4179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
54		ssrab2 3312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋
55		resmpt 5061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ 𝑋 → ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
57	53, 56	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}))
58	57	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
59	46, 58	eleqtrrd 2311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
60		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
61	3, 25, 60, 20, 13, 8	eldvap 15409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
62	61	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘𝐽)‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
63	35, 59, 62	mpbir2and 952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵)
64		releldm 4967	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
65	24, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
66	21, 65	eqelssd 3246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
67	66	feq2d 5470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
68	18, 67	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
69	68	ffnd 5483	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn 𝑋)
70		fnconstg 5534	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
71	37, 70	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {𝐵}) Fn 𝑋)
72	18	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
73	72	ffund 5486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun (𝑆 D 𝐹))
74		funbrfvb 5686	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
75	73, 65, 74	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝐵))
76	63, 75	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
77		fvconst2g 5868	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
78	38, 77	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
79	76, 78	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑋 × {𝐵})‘𝑥))
80	69, 71, 79	eqfnfvd 5747	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑋 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  {csn 3669  {cpr 3670   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150   × cxp 4723  dom cdm 4725   ↾ cres 4727   ∘ ccom 4729  Rel wrel 4730  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ↑_pm cpm 6818  ℂcc 8030  ℝcr 8031   − cmin 8350   # cap 8761   / cdiv 8852  abscabs 11559   ↾_t crest 13324  MetOpencmopn 14558  Topctop 14724  intcnt 14820  –cn→ccncf 15297   lim_ℂ climc 15381   D cdv 15382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-pm 6820  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-rest 13326  df-topgen 13345  df-psmet 14560  df-xmet 14561  df-met 14562  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-top 14725  df-topon 14738  df-bases 14770  df-ntr 14823  df-cn 14915  df-cnp 14916  df-cncf 15298  df-limced 15383  df-dvap 15384

This theorem is referenced by:  dvconstss  15425