Theorem dvidrelem 15331

Description: Lemma for dvidre 15336 and dvconstre 15335. Analogue of dvidlemap 15330 for real numbers rather than complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidrelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
dvidrelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidrelem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidrelem	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidrelem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidrelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2		reex 8101	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3		cnex 8091	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	2, 3	fpm 6798	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		dvfpm 15328	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
8		ax-resscn 8059	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10		ssidd 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
11	9, 1, 10	dvbss 15324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
12		reldvg 15318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → Rel (ℝ D 𝐹))
13	9, 5, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (ℝ D 𝐹))
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Rel (ℝ D 𝐹))
15		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		retop 15163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
17		uniretop 15164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
18	17	ntrtop 14767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ
20	15, 19	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
21		limcresi 15305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
22		dvidrelem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23		ssidd 3225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
24		cncfmptc 15235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
25	22, 8, 23, 24	mp3an12i 1356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
26		eqidd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
27	25, 15, 26	cnmptlimc 15313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
28	21, 27	sselid 3202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
29		breq1 4065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
30	29	elrab 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥))
31		dvidrelem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
32	31	3exp2 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
33	32	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
34	30, 33	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
35	34	mpteq2dva 4153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
36		ssrab2 3289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ
37		resmpt 5029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
39	35, 38	eqtr4di 2260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
40	39	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
41	28, 40	eleqtrrd 2289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
42		eqid 2209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
43	42	tgioo2cntop 15196	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
44		eqid 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
45	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
46	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
47		ssidd 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
48	43, 42, 44, 45, 46, 47	eldvap 15321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
49	20, 41, 48	mpbir2and 949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵)
50		releldm 4935	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
51	14, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
52	11, 51	eqelssd 3223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
53	52	feq2d 5437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ))
54	7, 53	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
55	54	ffnd 5450	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn ℝ)
56		fnconstg 5499	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
57	22, 56	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
58	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
59	58	ffund 5453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Fun (ℝ D 𝐹))
60		funbrfvb 5648	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
61	59, 51, 60	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
62	49, 61	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
63	22	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
64		fvconst2g 5826	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
65	63, 64	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
66	62, 65	eqtr4d 2245	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ × {𝐵})‘𝑥))
67	55, 57, 66	eqfnfvd 5708	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  {crab 2492   ⊆ wss 3177  {csn 3646   class class class wbr 4062   ↦ cmpt 4124   × cxp 4694  dom cdm 4696  ran crn 4697   ↾ cres 4698   ∘ ccom 4700  Rel wrel 4701  Fun wfun 5288   Fn wfn 5289  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_pm cpm 6766  ℂcc 7965  ℝcr 7966   − cmin 8285   # cap 8696   / cdiv 8787  (,)cioo 10052  abscabs 11474  topGenctg 13253  MetOpencmopn 14470  Topctop 14636  intcnt 14732  –cn→ccncf 15209   lim_ℂ climc 15293   D cdv 15294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 835  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-map 6767  df-pm 6768  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-xneg 9936  df-xadd 9937  df-ioo 10056  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-rest 13240  df-topgen 13259  df-psmet 14472  df-xmet 14473  df-met 14474  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-top 14637  df-topon 14650  df-bases 14682  df-ntr 14735  df-cn 14827  df-cnp 14828  df-cncf 15210  df-limced 15295  df-dvap 15296

This theorem is referenced by:  dvconstre  15335  dvidre  15336