Theorem dvidrelem 15776

Description: Lemma for dvidre 15781 and dvconstre 15780. Analogue of dvidlemap 15775 for real numbers rather than complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidrelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
dvidrelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidrelem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidrelem	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidrelem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidrelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2		reex 8307	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3		cnex 8297	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	2, 3	fpm 6956	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		dvfpm 15773	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
8		ax-resscn 8265	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10		ssidd 3269	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
11	9, 1, 10	dvbss 15769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
12		reldvg 15763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → Rel (ℝ D 𝐹))
13	9, 5, 12	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (ℝ D 𝐹))
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Rel (ℝ D 𝐹))
15		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		retop 15608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
17		uniretop 15609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
18	17	ntrtop 15212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ
20	15, 19	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
21		limcresi 15750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
22		dvidrelem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23		ssidd 3269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
24		cncfmptc 15680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
25	22, 8, 23, 24	mp3an12i 1382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
26		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
27	25, 15, 26	cnmptlimc 15758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
28	21, 27	sselid 3246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
29		breq1 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
30	29	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥))
31		dvidrelem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
32	31	3exp2 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
33	32	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
34	30, 33	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
35	34	mpteq2dva 4219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
36		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ
37		resmpt 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
39	35, 38	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
40	39	oveq1d 6094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
41	28, 40	eleqtrrd 2318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
42		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
43	42	tgioo2cntop 15641	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
44		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
45	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
46	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
47		ssidd 3269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
48	43, 42, 44, 45, 46, 47	eldvap 15766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
49	20, 41, 48	mpbir2and 957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵)
50		releldm 5015	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
51	14, 49, 50	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
52	11, 51	eqelssd 3267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
53	52	feq2d 5519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ))
54	7, 53	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
55	54	ffnd 5532	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn ℝ)
56		fnconstg 5588	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
57	22, 56	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
58	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
59	58	ffund 5535	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Fun (ℝ D 𝐹))
60		funbrfvb 5740	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
61	59, 51, 60	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
62	49, 61	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
63	22	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
64		fvconst2g 5923	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
65	63, 64	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
66	62, 65	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ × {𝐵})‘𝑥))
67	55, 57, 66	eqfnfvd 5803	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  {csn 3708   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190   × cxp 4770  dom cdm 4772  ran crn 4773   ↾ cres 4774   ∘ ccom 4776  Rel wrel 4777  Fun wfun 5369   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_pm cpm 6917  ℂcc 8171  ℝcr 8172   − cmin 8491   # cap 8903   / cdiv 8996  (,)cioo 10273  abscabs 11746  topGenctg 13591  MetOpencmopn 14861  Topctop 15081  intcnt 15177  –cn→ccncf 15654   lim_ℂ climc 15738   D cdv 15739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-map 6918  df-pm 6919  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741

This theorem is referenced by:  dvconstre  15780  dvidre  15781