Theorem dvidrelem 15544

Description: Lemma for dvidre 15549 and dvconstre 15548. Analogue of dvidlemap 15543 for real numbers rather than complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidrelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
dvidrelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidrelem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidrelem	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidrelem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidrelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2		reex 8257	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3		cnex 8247	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	2, 3	fpm 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		dvfpm 15541	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
8		ax-resscn 8215	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10		ssidd 3258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
11	9, 1, 10	dvbss 15537	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
12		reldvg 15531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → Rel (ℝ D 𝐹))
13	9, 5, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (ℝ D 𝐹))
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Rel (ℝ D 𝐹))
15		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		retop 15376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
17		uniretop 15377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
18	17	ntrtop 14980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ
20	15, 19	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
21		limcresi 15518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
22		dvidrelem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23		ssidd 3258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
24		cncfmptc 15448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
25	22, 8, 23, 24	mp3an12i 1378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
26		eqidd 2233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
27	25, 15, 26	cnmptlimc 15526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
28	21, 27	sselid 3235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
29		breq1 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
30	29	elrab 2972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥))
31		dvidrelem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
32	31	3exp2 1252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
33	32	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
34	30, 33	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
35	34	mpteq2dva 4199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
36		ssrab2 3322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ
37		resmpt 5085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
39	35, 38	eqtr4di 2283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
40	39	oveq1d 6064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
41	28, 40	eleqtrrd 2312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
42		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
43	42	tgioo2cntop 15409	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
44		eqid 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
45	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
46	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
47		ssidd 3258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
48	43, 42, 44, 45, 46, 47	eldvap 15534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
49	20, 41, 48	mpbir2and 953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵)
50		releldm 4991	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
51	14, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
52	11, 51	eqelssd 3256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
53	52	feq2d 5495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ))
54	7, 53	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
55	54	ffnd 5508	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn ℝ)
56		fnconstg 5564	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
57	22, 56	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
58	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
59	58	ffund 5511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Fun (ℝ D 𝐹))
60		funbrfvb 5716	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
61	59, 51, 60	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
62	49, 61	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
63	22	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
64		fvconst2g 5897	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
65	63, 64	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
66	62, 65	eqtr4d 2268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ × {𝐵})‘𝑥))
67	55, 57, 66	eqfnfvd 5777	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524   ⊆ wss 3210  {csn 3688   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170   × cxp 4746  dom cdm 4748  ran crn 4749   ↾ cres 4750   ∘ ccom 4752  Rel wrel 4753  Fun wfun 5345   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ↑_pm cpm 6882  ℂcc 8121  ℝcr 8122   − cmin 8440   # cap 8851   / cdiv 8942  (,)cioo 10217  abscabs 11675  topGenctg 13456  MetOpencmopn 14676  Topctop 14849  intcnt 14945  –cn→ccncf 15422   lim_ℂ climc 15506   D cdv 15507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-pm 6884  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-xneg 10101  df-xadd 10102  df-ioo 10221  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-rest 13443  df-topgen 13462  df-psmet 14678  df-xmet 14679  df-met 14680  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-top 14850  df-topon 14863  df-bases 14895  df-ntr 14948  df-cn 15040  df-cnp 15041  df-cncf 15423  df-limced 15508  df-dvap 15509

This theorem is referenced by:  dvconstre  15548  dvidre  15549