Theorem dvidrelem 14928

Description: Lemma for dvidre 14933 and dvconstre 14932. Analogue of dvidlemap 14927 for real numbers rather than complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvidrelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
dvidrelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
dvidrelem.3	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
dvidrelem	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidrelem

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvidrelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2		reex 8013	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
3		cnex 8003	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	2, 3	fpm 6740	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℂ → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6		dvfpm 14925	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
8		ax-resscn 7971	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
10		ssidd 3204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
11	9, 1, 10	dvbss 14921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
12		reldvg 14915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ)) → Rel (ℝ D 𝐹))
13	9, 5, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (ℝ D 𝐹))
14	13	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Rel (ℝ D 𝐹))
15		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		retop 14760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
17		uniretop 14761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
18	17	ntrtop 14364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ
20	15, 19	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
21		limcresi 14902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥)
22		dvidrelem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23		ssidd 3204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℂ ⊆ ℂ)
24		cncfmptc 14832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
25	22, 8, 23, 24	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
26		eqidd 2197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝐵 = 𝐵)
27	25, 15, 26	cnmptlimc 14910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) limℂ 𝑥))
28	21, 27	sselid 3181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
29		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤 # 𝑥 ↔ 𝑧 # 𝑥))
30	29	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥))
31		dvidrelem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
32	31	3exp2 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧 # 𝑥 → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵))))
33	32	imp43 355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
34	30, 33	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 𝐵)
35	34	mpteq2dva 4123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
36		ssrab2 3268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ
37		resmpt 4994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ 𝐵)
39	35, 38	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}))
40	39	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝐵) ↾ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥}) limℂ 𝑥))
41	28, 40	eleqtrrd 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
42		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
43	42	tgioo2cntop 14793	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℝ)
44		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
45	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
46	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
47		ssidd 3204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
48	43, 42, 44, 45, 46, 47	eldvap 14918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
49	20, 41, 48	mpbir2and 946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵)
50		releldm 4901	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
51	14, 49, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
52	11, 51	eqelssd 3202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = ℝ)
53	52	feq2d 5395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ))
54	7, 53	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):ℝ⟶ℂ)
55	54	ffnd 5408	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn ℝ)
56		fnconstg 5455	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
57	22, 56	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐵}) Fn ℝ)
58	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
59	58	ffund 5411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → Fun (ℝ D 𝐹))
60		funbrfvb 5603	. . . . 5 ⊢ ((Fun (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
61	59, 51, 60	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵 ↔ 𝑥(ℝ D 𝐹)𝐵))
62	49, 61	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
63	22	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
64		fvconst2g 5776	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
65	63, 64	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
66	62, 65	eqtr4d 2232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ × {𝐵})‘𝑥))
67	55, 57, 66	eqfnfvd 5662	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   ⊆ wss 3157  {csn 3622   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094   × cxp 4661  dom cdm 4663  ran crn 4664   ↾ cres 4665   ∘ ccom 4667  Rel wrel 4668  Fun wfun 5252   Fn wfn 5253  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ↑_pm cpm 6708  ℂcc 7877  ℝcr 7878   − cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699  (,)cioo 9963  abscabs 11162  topGenctg 12925  MetOpencmopn 14097  Topctop 14233  intcnt 14329  –cn→ccncf 14806   lim_ℂ climc 14890   D cdv 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pm 6710  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  dvconstre  14932  dvidre  14933