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Theorem nninfsellemeqinf 14735
Description: Lemma for nninfsel 14736. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfsel.e 𝐸 = (π‘ž ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž) ↦ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
nninfsel.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž))
nninfsel.1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(πΈβ€˜π‘„)) = 1o)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemeqinf (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o))
Distinct variable groups:   𝑄,π‘˜,𝑛,π‘ž   𝑖,π‘˜,𝑛,π‘ž   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑖,π‘ž)   𝑄(𝑖)   𝐸(𝑖,π‘˜,𝑛,π‘ž)

Proof of Theorem nninfsellemeqinf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfsel.e . . . . . . 7 𝐸 = (π‘ž ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž) ↦ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
21nninfself 14732 . . . . . 6 𝐸:(2o β†‘π‘š β„•βˆž)βŸΆβ„•βˆž
32a1i 9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸:(2o β†‘π‘š β„•βˆž)βŸΆβ„•βˆž)
4 nninfsel.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž))
53, 4ffvelcdmd 5652 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) ∈ β„•βˆž)
6 nninff 7120 . . . 4 ((πΈβ€˜π‘„) ∈ β„•βˆž β†’ (πΈβ€˜π‘„):Ο‰βŸΆ2o)
75, 6syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„):Ο‰βŸΆ2o)
87ffnd 5366 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) Fn Ο‰)
9 1onn 6520 . . . . 5 1o ∈ Ο‰
10 fnconstg 5413 . . . . 5 (1o ∈ Ο‰ β†’ (Ο‰ Γ— {1o}) Fn Ο‰)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (Ο‰ Γ— {1o}) Fn Ο‰
12 fconstmpt 4673 . . . . 5 (Ο‰ Γ— {1o}) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o)
1312fneq1i 5310 . . . 4 ((Ο‰ Γ— {1o}) Fn Ο‰ ↔ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o) Fn Ο‰)
1411, 13mpbi 145 . . 3 (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o) Fn Ο‰
1514a1i 9 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o) Fn Ο‰)
16 elequ2 2153 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑖 ∈ 𝑗 ↔ 𝑖 ∈ π‘˜))
1716ifbid 3555 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ if(𝑖 ∈ 𝑗, 1o, βˆ…) = if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))
1817mpteq2dv 4094 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑗, 1o, βˆ…)) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…)))
1918fveq2d 5519 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑗, 1o, βˆ…))) = (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))))
2019eqeq1d 2186 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑗, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o))
214adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ 𝑄 ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž))
22 nninfsel.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(πΈβ€˜π‘„)) = 1o)
2322adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘„β€˜(πΈβ€˜π‘„)) = 1o)
24 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ 𝑗 ∈ Ο‰)
251, 21, 23, 24nninfsellemqall 14734 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑗, 1o, βˆ…))) = 1o)
2625ralrimiva 2550 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑗, 1o, βˆ…))) = 1o)
2726ad2antrr 488 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘˜ ∈ suc 𝑗) β†’ βˆ€π‘— ∈ Ο‰ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ 𝑗, 1o, βˆ…))) = 1o)
28 simpr 110 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘˜ ∈ suc 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ suc 𝑗)
29 peano2 4594 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝑗 ∈ Ο‰)
3029ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘˜ ∈ suc 𝑗) β†’ suc 𝑗 ∈ Ο‰)
31 elnn 4605 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ suc 𝑗 ∧ suc 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
3228, 30, 31syl2anc 411 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘˜ ∈ suc 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ Ο‰)
3320, 27, 32rspcdva 2846 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘˜ ∈ suc 𝑗) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
3433ralrimiva 2550 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑗(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o)
3534iftrued 3541 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑗(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…) = 1o)
36 omex 4592 . . . . . . 7 Ο‰ ∈ V
3736mptex 5742 . . . . . 6 (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)) ∈ V
3837a1i 9 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)) ∈ V)
39 fveq1 5514 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))))
4039eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ (π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o))
4140ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑄 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o))
4241ifbid 3555 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑄 β†’ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…) = if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…))
4342mpteq2dv 4094 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘žβ€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)) = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
4443, 1fvmptg 5592 . . . . 5 ((𝑄 ∈ (2o β†‘π‘š β„•βˆž) ∧ (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)) ∈ V) β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
4521, 38, 44syl2anc 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑛 ∈ Ο‰ ↦ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…)))
46 suceq 4402 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ suc 𝑛 = suc 𝑗)
4746adantl 277 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ suc 𝑛 = suc 𝑗)
4847raleqdv 2678 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o ↔ βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑗(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o))
4948ifbid 3555 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ 𝑛 = 𝑗) β†’ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑛(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…) = if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑗(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…))
5035, 9eqeltrdi 2268 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑗(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…) ∈ Ο‰)
5145, 49, 24, 50fvmptd 5597 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ ((πΈβ€˜π‘„)β€˜π‘—) = if(βˆ€π‘˜ ∈ suc 𝑗(π‘„β€˜(𝑖 ∈ Ο‰ ↦ if(𝑖 ∈ π‘˜, 1o, βˆ…))) = 1o, 1o, βˆ…))
52 eqidd 2178 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑗 β†’ 1o = 1o)
53 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o)
5452, 53fvmptg 5592 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ Ο‰) β†’ ((𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o)β€˜π‘—) = 1o)
559, 54mpan2 425 . . . 4 (𝑗 ∈ Ο‰ β†’ ((𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o)β€˜π‘—) = 1o)
5655adantl 277 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o)β€˜π‘—) = 1o)
5735, 51, 563eqtr4d 2220 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ ((πΈβ€˜π‘„)β€˜π‘—) = ((𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o)β€˜π‘—))
588, 15, 57eqfnfvd 5616 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘„) = (𝑖 ∈ Ο‰ ↦ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2737  βˆ…c0 3422  ifcif 3534  {csn 3592   ↦ cmpt 4064  suc csuc 4365  Ο‰com 4589   Γ— cxp 4624   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  1oc1o 6409  2oc2o 6410   β†‘π‘š cmap 6647  β„•βˆžxnninf 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-nninf 7118
This theorem is referenced by:  nninfsel  14736
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