Theorem ofc1g 6157

Description: Left operation by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofc1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofc1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ofc1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
ofc1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)
ofc1g.ex	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐵𝑅𝐶) ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ofc1g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅𝐹)‘𝑋) = (𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem ofc1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofc1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 5456	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
4		ofc1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		ofc1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 3373	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		fvconst2g 5777	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
8	1, 7	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
9		ofc1.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)
10		ofc1g.ex	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐵𝑅𝐶) ∈ 𝑈)
11	3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 10	ofvalg 6146	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅𝐹)‘𝑋) = (𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623   × cxp 4662   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   ∘_𝑓 cof 6134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-of 6136

This theorem is referenced by:  ofnegsub  8991