Theorem ofc1g 6287

Description: Left operation by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofc1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ofc1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ofc1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
ofc1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)
ofc1g.ex	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐵𝑅𝐶) ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ofc1g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅𝐹)‘𝑋) = (𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem ofc1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofc1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fnconstg 5564	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴)
4		ofc1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
5		ofc1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		inidm 3429	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
7		fvconst2g 5897	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
8	1, 7	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
9		ofc1.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = 𝐶)
10		ofc1g.ex	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐵𝑅𝐶) ∈ 𝑈)
11	3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 10	ofvalg 6275	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 𝑅𝐹)‘𝑋) = (𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688   × cxp 4746   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ∘_𝑓 cof 6263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265

This theorem is referenced by:  ofnegsub  9235