Theorem pwsmulrval 13530

Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
pwsmulrval.a	⊢ · = (.r‘𝑅)
pwsmulrval.p	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		pwsplusgval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		scaslid 13387	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	slotex 13260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6	3, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		pwsplusgval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		fnconstg 5567	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
9	3, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
10		pwsplusgval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		pwsplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
12		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
13		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
14	12, 13	pwsval 13525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15	3, 7, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
16	15	fveq2d 5676	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17	11, 16	eqtrid 2279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18	10, 17	eleqtrd 2313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19		pwsplusgval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
20	19, 17	eleqtrd 2313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
21		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
22	1, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 21	prdsmulrval 13519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
23		fvconst2g 5900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
24	3, 23	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
25	24	fveq2d 5676	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r‘𝑅))
26		pwsmulrval.a	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
27	25, 26	eqtr4di 2285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
28	27	oveqd 6069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
29	28	mpteq2dva 4202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
30	22, 29	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
31		pwsmulrval.p	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
32	15	fveq2d 5676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
33	31, 32	eqtrid 2279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
34	33	oveqd 6069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
35		fvexg 5691	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
36	10, 35	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
37		fvexg 5691	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
38	19, 37	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
39		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
40	12, 39, 11, 3, 7, 10	pwselbas 13528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	feqmptd 5732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
42	12, 39, 11, 3, 7, 19	pwselbas 13528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
43	42	feqmptd 5732	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
44	7, 36, 38, 41, 43	offval2 6284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
45	30, 34, 44	3eqtr4d 2277	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {csn 3691   ↦ cmpt 4173   × cxp 4749   Fn wfn 5349  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ∘_𝑓 cof 6266  Basecbs 13233  ._rcmulr 13312  Scalarcsca 13314  X_scprds 13499   ↑_s cpws 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-ixp 6936  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-fz 10349  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-tset 13330  df-ple 13331  df-ds 13333  df-hom 13335  df-cco 13336  df-rest 13475  df-topn 13476  df-topgen 13494  df-pt 13495  df-prds 13501  df-pws 13524

This theorem is referenced by: (None)