Theorem pwsmulrval 13350

Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
pwsmulrval.a	⊢ · = (.r‘𝑅)
pwsmulrval.p	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		pwsplusgval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		scaslid 13207	. . . . . 6 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	slotex 13080	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6	3, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		pwsplusgval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		fnconstg 5528	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
9	3, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
10		pwsplusgval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		pwsplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
12		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
13		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
14	12, 13	pwsval 13345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15	3, 7, 14	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
16	15	fveq2d 5636	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17	11, 16	eqtrid 2274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18	10, 17	eleqtrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19		pwsplusgval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
20	19, 17	eleqtrd 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
21		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
22	1, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 21	prdsmulrval 13339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
23		fvconst2g 5860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
24	3, 23	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
25	24	fveq2d 5636	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r‘𝑅))
26		pwsmulrval.a	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
27	25, 26	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
28	27	oveqd 6027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
29	28	mpteq2dva 4174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
30	22, 29	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
31		pwsmulrval.p	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
32	15	fveq2d 5636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
33	31, 32	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
34	33	oveqd 6027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
35		fvexg 5651	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
36	10, 35	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
37		fvexg 5651	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
38	19, 37	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
39		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
40	12, 39, 11, 3, 7, 10	pwselbas 13348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
41	40	feqmptd 5692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
42	12, 39, 11, 3, 7, 19	pwselbas 13348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
43	42	feqmptd 5692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
44	7, 36, 38, 41, 43	offval2 6243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
45	30, 34, 44	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {csn 3666   ↦ cmpt 4145   × cxp 4718   Fn wfn 5316  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ∘_𝑓 cof 6225  Basecbs 13053  ._rcmulr 13132  Scalarcsca 13134  X_scprds 13319   ↑_s cpws 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-hom 13155  df-cco 13156  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-prds 13321  df-pws 13344

This theorem is referenced by: (None)