ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmap GIF version

Theorem elmap 6676
Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
elmap.1 𝐴 ∈ V
elmap.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
elmap (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴)

Proof of Theorem elmap
StepHypRef Expression
1 elmap.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 elmap.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 elmapg 6660 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
41, 2, 3mp2an 426 1 (𝐹 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105  wcel 2148  Vcvv 2737  wf 5212  (class class class)co 5874  𝑚 cmap 6647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649
This theorem is referenced by:  mapval2  6677  fvmptmap  6684  mapsn  6689  mapsnconst  6693  mapsncnv  6694  xpmapenlem  6848  infnninfOLD  7122  nnnninf  7123  nninfdcinf  7168  nninfwlporlem  7170  nninfwlpoimlemg  7172  1arith  12364  subctctexmid  14686  0nninf  14689  nninffeq  14705
  Copyright terms: Public domain W3C validator