Theorem elmap 6676

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmap.1	⊢ 𝐴 ∈ V
elmap.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elmap	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴)

Proof of Theorem elmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmap.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elmap.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		elmapg 6660	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ⟶wf 5212  (class class class)co 5874   ↑_𝑚 cmap 6647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649

This theorem is referenced by:  mapval2  6677  fvmptmap  6684  mapsn  6689  mapsnconst  6693  mapsncnv  6694  xpmapenlem  6848  infnninfOLD  7122  nnnninf  7123  nninfdcinf  7168  nninfwlporlem  7170  nninfwlpoimlemg  7172  1arith  12364  subctctexmid  14686  0nninf  14689  nninffeq  14705