Theorem gt0add 8708

Description: A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Proof of Theorem gt0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
2		0red 8135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3		simp1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 8164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		axltwlin 8202	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
7	2, 5, 3, 6	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
8	1, 7	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
9	4, 3	ltaddposd 8664	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
10	9	orbi2d 795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
11	8, 10	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  ℝcr 7986  0cc0 7987   + caddc 7990   < clt 8169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-iota 5274  df-fv 5322  df-ov 5997  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174

This theorem is referenced by: (None)