Theorem gt0add 8895

Description: A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Proof of Theorem gt0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
2		0red 8321	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 8349	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		axltwlin 8387	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
7	2, 5, 3, 6	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
8	1, 7	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
9	4, 3	ltaddposd 8851	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
10	9	orbi2d 802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
11	8, 10	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173   + caddc 8176   < clt 8354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359

This theorem is referenced by: (None)