Theorem gt0add 8864

Description: A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Proof of Theorem gt0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1026	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
2		0red 8291	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 8319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		axltwlin 8357	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
7	2, 5, 3, 6	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
8	1, 7	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
9	4, 3	ltaddposd 8820	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
10	9	orbi2d 798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
11	8, 10	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143   + caddc 8146   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by: (None)