Theorem gt0add 8746

Description: A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Proof of Theorem gt0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
2		0red 8173	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3		simp1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 1022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 8202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		axltwlin 8240	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
7	2, 5, 3, 6	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
8	1, 7	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
9	4, 3	ltaddposd 8702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
10	9	orbi2d 795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
11	8, 10	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025   + caddc 8028   < clt 8207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-i2m1 8130  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-ltxr 8212

This theorem is referenced by: (None)