Theorem gt0add 8471

Description: A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Proof of Theorem gt0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 989	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
2		0red 7900	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
3		simp1 987	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simp2 988	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 7928	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		axltwlin 7966	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
7	2, 5, 3, 6	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < (𝐴 + 𝐵) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
8	1, 7	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
9	4, 3	ltaddposd 8427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
10	9	orbi2d 780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵) ↔ (0 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))))
11	8, 10	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∨ 0 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   + caddc 7756   < clt 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938

This theorem is referenced by: (None)