ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zssinfcl GIF version

Theorem zssinfcl 11436
Description: The infimum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zssinfcl.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
zssinfcl.ss (𝜑𝐵 ⊆ ℤ)
zssinfcl.zz (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zssinfcl (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem zssinfcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssinfcl.zz . . . . 5 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
21zred 9025 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3 1red 7653 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 7667 . . 3 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
52ltp1d 8546 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
6 lttri3 7715 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
76adantl 273 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
8 zssinfcl.ex . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
97, 8infglbti 6827 . . 3 (𝜑 → (((inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑧𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
104, 5, 9mp2and 427 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
112adantr 272 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12 zssinfcl.ss . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℤ)
1312adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝐵 ⊆ ℤ)
14 simprl 501 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧𝐵)
1513, 14sseldd 3048 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
1615zred 9025 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
177, 8inflbti 6826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐵 → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < )))
1817imp 123 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
1918adantrr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
2011, 16, 19nltled 7754 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
21 simprr 502 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
221adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
23 zleltp1 8961 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
2415, 22, 23syl2anc 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
2521, 24mpbird 166 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))
2611, 16letri3d 7750 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))))
2720, 25, 26mpbir2and 896 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧)
2827, 14eqeltrd 2176 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
2910, 28rexlimddv 2513 1 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  wrex 2376  wss 3021   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  infcinf 6785  cr 7499  1c1 7501   + caddc 7503   < clt 7672  cle 7673  cz 8906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator