Theorem zssinfcl 10619

Description: The infimum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zssinfcl.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
zssinfcl.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℤ)
zssinfcl.zz	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zssinfcl	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem zssinfcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssinfcl.zz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
2	1	zred 9723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3		1red 8307	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 8321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
5	2	ltp1d 9226	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
6		lttri3 8371	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
8		zssinfcl.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	7, 8	infglbti 7331	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
10	4, 5, 9	mp2and 433	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
11	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12		zssinfcl.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℤ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝐵 ⊆ ℤ)
14		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sseldd 3243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
16	15	zred 9723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17	7, 8	inflbti 7330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < )))
18	17	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
19	18	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
20	11, 16, 19	nltled 8413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
21		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
22	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
23		zleltp1 9655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
24	15, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
25	21, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))
26	11, 16	letri3d 8407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))))
27	20, 25, 26	mpbir2and 953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧)
28	27, 14	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
29	10, 28	rexlimddv 2667	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060  infcinf 7289  ℝcr 8144  1c1 8146   + caddc 8148   < clt 8326   ≤ cle 8327  ℤcz 9599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-sup 7290  df-inf 7291  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600

This theorem is referenced by: (None)