Theorem zssinfcl 10536

Description: The infimum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zssinfcl.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
zssinfcl.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℤ)
zssinfcl.zz	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zssinfcl	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem zssinfcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssinfcl.zz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
2	1	zred 9645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3		1red 8237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 8252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
5	2	ltp1d 9153	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
6		lttri3 8302	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
8		zssinfcl.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	7, 8	infglbti 7267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
10	4, 5, 9	mp2and 433	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
11	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12		zssinfcl.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℤ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝐵 ⊆ ℤ)
14		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sseldd 3229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
16	15	zred 9645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17	7, 8	inflbti 7266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < )))
18	17	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
19	18	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
20	11, 16, 19	nltled 8343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
21		simprr 533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
22	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
23		zleltp1 9578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
24	15, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
25	21, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))
26	11, 16	letri3d 8338	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))))
27	20, 25, 26	mpbir2and 953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧)
28	27, 14	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
29	10, 28	rexlimddv 2656	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  infcinf 7225  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℤcz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523

This theorem is referenced by: (None)