ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zssinfcl GIF version

Theorem zssinfcl 11984
Description: The infimum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
zssinfcl.ex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
zssinfcl.ss (𝜑𝐵 ⊆ ℤ)
zssinfcl.zz (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zssinfcl (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem zssinfcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssinfcl.zz . . . . 5 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
21zred 9406 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3 1red 8003 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 8018 . . 3 (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
52ltp1d 8918 . . 3 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
6 lttri3 8068 . . . . 5 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
76adantl 277 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
8 zssinfcl.ex . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < 𝑦)))
97, 8infglbti 7055 . . 3 (𝜑 → (((inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑧𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
104, 5, 9mp2and 433 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
112adantr 276 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12 zssinfcl.ss . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℤ)
1312adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝐵 ⊆ ℤ)
14 simprl 529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧𝐵)
1513, 14sseldd 3171 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
1615zred 9406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
177, 8inflbti 7054 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐵 → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < )))
1817imp 124 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
1918adantrr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
2011, 16, 19nltled 8109 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
21 simprr 531 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
221adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
23 zleltp1 9339 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
2415, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
2521, 24mpbird 167 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))
2611, 16letri3d 8104 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))))
2720, 25, 26mpbir2and 946 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧)
2827, 14eqeltrd 2266 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
2910, 28rexlimddv 2612 1 (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  wss 3144   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  infcinf 7013  cr 7841  1c1 7843   + caddc 7845   < clt 8023  cle 8024  cz 9284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator