Theorem zssinfcl 10460

Description: The infimum of a set of integers is an element of the set. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zssinfcl.ex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
zssinfcl.ss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℤ)
zssinfcl.zz	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zssinfcl	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem zssinfcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssinfcl.zz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
2	1	zred 9577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3		1red 8169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 8184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
5	2	ltp1d 9085	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
6		lttri3 8234	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
8		zssinfcl.ex	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < 𝑦)))
9	7, 8	infglbti 7200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((inf(𝐵, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
10	4, 5, 9	mp2and 433	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
11	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
12		zssinfcl.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℤ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝐵 ⊆ ℤ)
14		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sseldd 3225	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
16	15	zred 9577	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
17	7, 8	inflbti 7199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < )))
18	17	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
19	18	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → ¬ 𝑧 < inf(𝐵, ℝ, < ))
20	11, 16, 19	nltled 8275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧)
21		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))
22	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ)
23		zleltp1 9510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
24	15, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ) ↔ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1)))
25	21, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))
26	11, 16	letri3d 8270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → (inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧 ↔ (inf(𝐵, ℝ, < ) ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ inf(𝐵, ℝ, < ))))
27	20, 25, 26	mpbir2and 950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) = 𝑧)
28	27, 14	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 < (inf(𝐵, ℝ, < ) + 1))) → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
29	10, 28	rexlimddv 2653	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  infcinf 7158  ℝcr 8006  1c1 8008   + caddc 8010   < clt 8189   ≤ cle 8190  ℤcz 9454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455

This theorem is referenced by: (None)