Theorem unbendc 12611

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
unbendc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐴   𝑥,𝐴

Proof of Theorem unbendc

Dummy variables 𝑞 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3180	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9438	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
5		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
6	1, 5	sseldd 3180	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9438	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		zdceq 9392	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 𝑦 = 𝑧)
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑦 = 𝑧)
10	9	ralrimivva 2576	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 = 𝑧)
11		ssnnct 12604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
12	11	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13		nninfdc 12610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)
14		infm 6960	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑞 𝑞 ∈ 𝐴)
15		ctm 7168	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 𝑞 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴))
16	13, 14, 15	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → (∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴))
17	12, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴)
18		ctinf 12587	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 = 𝑧 ∧ ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
19	10, 17, 13, 18	syl3anbrc 1183	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   ∧ w3a 980  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  ωcom 4622  –onto→wfo 5252  1_oc1o 6462   ≈ cen 6792   ≼ cdom 6793   ⊔ cdju 7096   < clt 8054  ℕcn 8982  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  prminf  12612