Theorem unbendc 12869

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 30-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
unbendc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐴   𝑥,𝐴

Proof of Theorem unbendc

Dummy variables 𝑞 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9501	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
5		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
6	1, 5	sseldd 3195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9501	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℤ)
8		zdceq 9455	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 𝑦 = 𝑧)
9	4, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → DECID 𝑦 = 𝑧)
10	9	ralrimivva 2589	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 = 𝑧)
11		ssnnct 12862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
12	11	3adant3 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13		nninfdc 12868	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ω ≼ 𝐴)
14		infm 7008	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑞 𝑞 ∈ 𝐴)
15		ctm 7218	. . . 4 ⊢ (∃𝑞 𝑞 ∈ 𝐴 → (∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴))
16	13, 14, 15	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → (∃𝑤 𝑤:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴))
17	12, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴)
18		ctinf 12845	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 DECID 𝑦 = 𝑧 ∧ ∃𝑤 𝑤:ω–onto→𝐴 ∧ ω ≼ 𝐴))
19	10, 17, 13, 18	syl3anbrc 1184	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛) → 𝐴 ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   ∧ w3a 981  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486   ⊆ wss 3167   class class class wbr 4047  ωcom 4642  –onto→wfo 5274  1_oc1o 6502   ≈ cen 6832   ≼ cdom 6833   ⊔ cdju 7146   < clt 8114  ℕcn 9043  ℤcz 9379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-er 6627  df-pm 6745  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-inf 7094  df-dju 7147  df-inl 7156  df-inr 7157  df-case 7193  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600

This theorem is referenced by:  prminf  12870