ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inffiexmid GIF version

Theorem inffiexmid 6702
Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
inffiexmid.1 (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
inffiexmid (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem inffiexmid
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4436 . . . . 5 ω ∈ V
21rabex 4004 . . . 4 {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ V
3 eleq1 2157 . . . . 5 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
4 breq2 3871 . . . . 5 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}))
53, 4orbi12d 745 . . . 4 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ((𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})))
6 inffiexmid.1 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
72, 5, 6vtocl 2687 . . 3 ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
8 ominf 6692 . . . . . 6 ¬ ω ∈ Fin
9 peano1 4437 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
10 elex2 2649 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ω → ∃𝑤 𝑤 ∈ ω)
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑤 ∈ ω
12 r19.3rmv 3392 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤 ∈ ω → (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑))
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
14 rabid2 2557 . . . . . . . 8 (ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
1513, 14sylbb2 137 . . . . . . 7 (𝜑 → ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
1615eleq1d 2163 . . . . . 6 (𝜑 → (ω ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
178, 16mtbii 637 . . . . 5 (𝜑 → ¬ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin)
1817con2i 595 . . . 4 ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin → ¬ 𝜑)
19 infm 6700 . . . . 5 (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
20 biidd 171 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜑))
2120elrab 2785 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑))
2221simprbi 270 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2322exlimiv 1541 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2419, 23syl 14 . . . 4 (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2518, 24orim12i 714 . . 3 (({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}) → (¬ 𝜑𝜑))
267, 25ax-mp 7 . 2 𝜑𝜑)
27 orcom 685 . 2 ((¬ 𝜑𝜑) ↔ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2826, 27mpbi 144 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 104  wo 667   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  wral 2370  {crab 2374  c0 3302   class class class wbr 3867  ωcom 4433  cdom 6536  Fincfn 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator