ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inffiexmid GIF version

Theorem inffiexmid 6552
Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
inffiexmid.1 (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
inffiexmid (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem inffiexmid
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4374 . . . . 5 ω ∈ V
21rabex 3951 . . . 4 {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ V
3 eleq1 2147 . . . . 5 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
4 breq2 3818 . . . . 5 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}))
53, 4orbi12d 740 . . . 4 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ((𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})))
6 inffiexmid.1 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
72, 5, 6vtocl 2666 . . 3 ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
8 ominf 6545 . . . . . 6 ¬ ω ∈ Fin
9 peano1 4375 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
10 elex2 2628 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ω → ∃𝑤 𝑤 ∈ ω)
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑤 ∈ ω
12 r19.3rmv 3356 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤 ∈ ω → (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑))
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
14 rabid2 2538 . . . . . . . 8 (ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
1513, 14sylbb2 136 . . . . . . 7 (𝜑 → ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
1615eleq1d 2153 . . . . . 6 (𝜑 → (ω ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
178, 16mtbii 632 . . . . 5 (𝜑 → ¬ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin)
1817con2i 590 . . . 4 ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin → ¬ 𝜑)
19 infm 6550 . . . . 5 (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
20 biidd 170 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜑))
2120elrab 2761 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑))
2221simprbi 269 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2322exlimiv 1532 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2419, 23syl 14 . . . 4 (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2518, 24orim12i 709 . . 3 (({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}) → (¬ 𝜑𝜑))
267, 25ax-mp 7 . 2 𝜑𝜑)
27 orcom 680 . 2 ((¬ 𝜑𝜑) ↔ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2826, 27mpbi 143 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wral 2355  {crab 2359  c0 3272   class class class wbr 3814  ωcom 4371  cdom 6389  Fincfn 6390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator