Theorem inffiexmid 6793

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4502	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	rabex 4067	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ V
3		eleq1 2200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
4		breq2 3928	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}))
5	3, 4	orbi12d 782	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ((𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})))
6		inffiexmid.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
7	2, 5, 6	vtocl 2735	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
8		ominf 6783	. . . . . 6 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
9		peano1 4503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑤 𝑤 ∈ ω)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ ω
12		r19.3rmv 3448	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ ω → (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
14		rabid2 2605	. . . . . . . 8 ⊢ (ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
15	13, 14	sylbb2 137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
16	15	eleq1d 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
17	8, 16	mtbii 663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin)
18	17	con2i 616	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin → ¬ 𝜑)
19		infm 6791	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
20		biidd 171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜑))
21	20	elrab 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑))
22	21	simprbi 273	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
23	22	exlimiv 1577	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
24	19, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
25	18, 24	orim12i 748	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}) → (¬ 𝜑 ∨ 𝜑))
26	7, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 ∨ 𝜑)
27		orcom 717	. 2 ⊢ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜑) ↔ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
28	26, 27	mpbi 144	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  {crab 2418  ∅c0 3358   class class class wbr 3924  ωcom 4499   ≼ cdom 6626  Fincfn 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630

This theorem is referenced by: (None)