Theorem inffiexmid 6908

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4594	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	rabex 4149	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ V
3		eleq1 2240	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
4		breq2 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}))
5	3, 4	orbi12d 793	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ((𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})))
6		inffiexmid.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
7	2, 5, 6	vtocl 2793	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
8		ominf 6898	. . . . . 6 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
9		peano1 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑤 𝑤 ∈ ω)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ ω
12		r19.3rmv 3515	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ ω → (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
14		rabid2 2654	. . . . . . . 8 ⊢ (ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
15	13, 14	sylbb2 138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
16	15	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
17	8, 16	mtbii 674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin)
18	17	con2i 627	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin → ¬ 𝜑)
19		infm 6906	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
20		biidd 172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜑))
21	20	elrab 2895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑))
22	21	simprbi 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
23	22	exlimiv 1598	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
24	19, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
25	18, 24	orim12i 759	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}) → (¬ 𝜑 ∨ 𝜑))
26	7, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 ∨ 𝜑)
27		orcom 728	. 2 ⊢ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜑) ↔ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
28	26, 27	mpbi 145	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  {crab 2459  ∅c0 3424   class class class wbr 4005  ωcom 4591   ≼ cdom 6741  Fincfn 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745

This theorem is referenced by: (None)