Theorem inffiexmid 6702

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4436	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	rabex 4004	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ V
3		eleq1 2157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
4		breq2 3871	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}))
5	3, 4	orbi12d 745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ((𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})))
6		inffiexmid.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
7	2, 5, 6	vtocl 2687	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
8		ominf 6692	. . . . . 6 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
9		peano1 4437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑤 𝑤 ∈ ω)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ ω
12		r19.3rmv 3392	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ ω → (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
14		rabid2 2557	. . . . . . . 8 ⊢ (ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
15	13, 14	sylbb2 137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
16	15	eleq1d 2163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
17	8, 16	mtbii 637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin)
18	17	con2i 595	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin → ¬ 𝜑)
19		infm 6700	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
20		biidd 171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜑))
21	20	elrab 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑))
22	21	simprbi 270	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
23	22	exlimiv 1541	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
24	19, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
25	18, 24	orim12i 714	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}) → (¬ 𝜑 ∨ 𝜑))
26	7, 25	ax-mp 7	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 ∨ 𝜑)
27		orcom 685	. 2 ⊢ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜑) ↔ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
28	26, 27	mpbi 144	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 104   ∨ wo 667   = wceq 1296  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445  ∀wral 2370  {crab 2374  ∅c0 3302   class class class wbr 3867  ωcom 4433   ≼ cdom 6536  Fincfn 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540

This theorem is referenced by: (None)