Theorem inffiexmid 6962

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4625	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2	1	rabex 4173	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ V
3		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
4		breq2 4033	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}))
5	3, 4	orbi12d 794	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ((𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})))
6		inffiexmid.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
7	2, 5, 6	vtocl 2814	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
8		ominf 6952	. . . . . 6 ⊢ ¬ ω ∈ Fin
9		peano1 4626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ ω
10		elex2 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ∈ ω → ∃𝑤 𝑤 ∈ ω)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑤 𝑤 ∈ ω
12		r19.3rmv 3537	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ ω → (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
14		rabid2 2671	. . . . . . . 8 ⊢ (ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
15	13, 14	sylbb2 138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
16	15	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ω ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
17	8, 16	mtbii 675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin)
18	17	con2i 628	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin → ¬ 𝜑)
19		infm 6960	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
20		biidd 172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜑))
21	20	elrab 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑))
22	21	simprbi 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
23	22	exlimiv 1609	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
24	19, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
25	18, 24	orim12i 760	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}) → (¬ 𝜑 ∨ 𝜑))
26	7, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ (¬ 𝜑 ∨ 𝜑)
27		orcom 729	. 2 ⊢ ((¬ 𝜑 ∨ 𝜑) ↔ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
28	26, 27	mpbi 145	1 ⊢ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  ωcom 4622   ≼ cdom 6793  Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797

This theorem is referenced by: (None)