ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inffiexmid GIF version

Theorem inffiexmid 6547
Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
inffiexmid.1 (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
inffiexmid (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Proof of Theorem inffiexmid
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4370 . . . . 5 ω ∈ V
21rabex 3948 . . . 4 {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ V
3 eleq1 2145 . . . . 5 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (𝑥 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
4 breq2 3815 . . . . 5 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}))
53, 4orbi12d 740 . . . 4 (𝑥 = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ((𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥) ↔ ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})))
6 inffiexmid.1 . . . 4 (𝑥 ∈ Fin ∨ ω ≼ 𝑥)
72, 5, 6vtocl 2664 . . 3 ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
8 ominf 6540 . . . . . 6 ¬ ω ∈ Fin
9 peano1 4371 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
10 elex2 2626 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ ω → ∃𝑤 𝑤 ∈ ω)
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑤 ∈ ω
12 r19.3rmv 3353 . . . . . . . . 9 (∃𝑤 𝑤 ∈ ω → (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑))
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
14 rabid2 2536 . . . . . . . 8 (ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ ω 𝜑)
1513, 14sylbb2 136 . . . . . . 7 (𝜑 → ω = {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
1615eleq1d 2151 . . . . . 6 (𝜑 → (ω ∈ Fin ↔ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin))
178, 16mtbii 632 . . . . 5 (𝜑 → ¬ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin)
1817con2i 590 . . . 4 ({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin → ¬ 𝜑)
19 infm 6545 . . . . 5 (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → ∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑})
20 biidd 170 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑𝜑))
2120elrab 2759 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ↔ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝜑))
2221simprbi 269 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2322exlimiv 1530 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧 ∈ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2419, 23syl 14 . . . 4 (ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} → 𝜑)
2518, 24orim12i 709 . . 3 (({𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑} ∈ Fin ∨ ω ≼ {𝑦 ∈ ω ∣ 𝜑}) → (¬ 𝜑𝜑))
267, 25ax-mp 7 . 2 𝜑𝜑)
27 orcom 680 . 2 ((¬ 𝜑𝜑) ↔ (𝜑 ∨ ¬ 𝜑))
2826, 27mpbi 143 1 (𝜑 ∨ ¬ 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wral 2353  {crab 2357  c0 3269   class class class wbr 3811  ωcom 4367  cdom 6384  Fincfn 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-er 6220  df-en 6386  df-dom 6387  df-fin 6388
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator