Theorem peano1 4741

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4260	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	elint 3976	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧))
3		df-clab 2225	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦))
4		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑦)
5	4	sbimi 1817	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦)
6		clelsb2 2344	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦 ↔ ∅ ∈ 𝑧)
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑧)
8	3, 7	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧)
9	2, 8	mpgbir 1506	. 2 ⊢ ∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
10		dfom3 4739	. 2 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
11	9, 10	eleqtrri 2314	1 ⊢ ∅ ∈ ω

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  [wsb 1815   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  ∅c0 3520  ∩ cint 3970  suc csuc 4510  ωcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-nul 4259

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521  df-int 3971  df-iom 4738

This theorem is used by:  peano5  4745  limom  4761  nnregexmid  4768  omsinds  4769  nnpredcl  4770  frec0g  6668  frecabcl  6670  frecrdg  6679  oa1suc  6740  nna0r  6751  nnm0r  6752  nnmcl  6754  nnmsucr  6761  1onn  6793  nnm1  6798  nnaordex  6801  nnawordex  6802  php5  7159  php5dom  7164  0fi  7188  findcard2  7193  findcard2s  7194  infm  7211  inffiexmid  7213  0ct  7447  ctmlemr  7448  ctssdclemn0  7450  ctssdc  7453  omct  7457  nninfisol  7473  fodjum  7486  fodju0  7487  ctssexmid  7490  nninfwlpoimlemg  7515  nninfwlpoimlemginf  7516  1lt2pi  7707  nq0m0r  7823  nq0a0  7824  prarloclem5  7867  frec2uzrand  10842  frecuzrdg0  10850  frecuzrdg0t  10859  frecfzennn  10863  0tonninf  10877  1tonninf  10878  hashinfom  11217  hashunlem  11244  hash1  11252  nninfctlemfo  12817  ennnfonelemj0  13292  ennnfonelem1  13298  ennnfonelemhf1o  13304  ennnfonelemhom  13306  fnpr2o  13660  fvpr0o  13662  xpscf  13668  bj-nn0suc  16990  bj-nn0sucALT  17004  012of  17023  2o01f  17024  pwle2  17028  pwf1oexmid  17029  subctctexmid  17030  peano3nninf  17050  nninfall  17052  nninfsellemdc  17053  nninfsellemeq  17057  nninffeq  17063  nnnninfex  17065  isomninnlem  17079  iswomninnlem  17099  ismkvnnlem  17102