ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano1 GIF version

Theorem peano1 4508
Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1 ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4055 . . . 4 ∅ ∈ V
21elint 3777 . . 3 (∅ ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧))
3 df-clab 2126 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦))
4 simpl 108 . . . . . 6 ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∅ ∈ 𝑦)
54sbimi 1737 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦)
6 clelsb4 2245 . . . . 5 ([𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦 ↔ ∅ ∈ 𝑧)
75, 6sylib 121 . . . 4 ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦) → ∅ ∈ 𝑧)
83, 7sylbi 120 . . 3 (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧)
92, 8mpgbir 1429 . 2 ∅ ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
10 dfom3 4506 . 2 ω = {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦 suc 𝑥𝑦)}
119, 10eleqtrri 2215 1 ∅ ∈ ω
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480  [wsb 1735  {cab 2125  wral 2416  c0 3363   cint 3771  suc csuc 4287  ωcom 4504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-dif 3073  df-nul 3364  df-int 3772  df-iom 4505
This theorem is referenced by:  peano5  4512  limom  4527  nnregexmid  4534  omsinds  4535  nnpredcl  4536  frec0g  6294  frecabcl  6296  frecrdg  6305  oa1suc  6363  nna0r  6374  nnm0r  6375  nnmcl  6377  nnmsucr  6384  1onn  6416  nnm1  6420  nnaordex  6423  nnawordex  6424  php5  6752  php5dom  6757  0fin  6778  findcard2  6783  findcard2s  6784  infm  6798  inffiexmid  6800  0ct  6992  ctmlemr  6993  ctssdclemn0  6995  ctssdc  6998  omct  7002  fodjum  7018  fodju0  7019  ctssexmid  7024  1lt2pi  7160  nq0m0r  7276  nq0a0  7277  prarloclem5  7320  frec2uzrand  10190  frecuzrdg0  10198  frecuzrdg0t  10207  frecfzennn  10211  0tonninf  10224  1tonninf  10225  hashinfom  10536  hashunlem  10562  hash1  10569  ennnfonelemj0  11925  ennnfonelem1  11931  ennnfonelemhf1o  11937  ennnfonelemhom  11939  bj-nn0suc  13246  bj-nn0sucALT  13260  pwle2  13277  pwf1oexmid  13278  subctctexmid  13280  peano3nninf  13287  nninfall  13290  nninfsellemdc  13292  nninfsellemeq  13296  nninffeq  13302  isomninnlem  13311
  Copyright terms: Public domain W3C validator