Theorem peano1 4716

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4237	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	elint 3955	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧))
3		df-clab 2219	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦))
4		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑦)
5	4	sbimi 1813	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦)
6		clelsb2 2338	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦 ↔ ∅ ∈ 𝑧)
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑧)
8	3, 7	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧)
9	2, 8	mpgbir 1502	. 2 ⊢ ∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
10		dfom3 4714	. 2 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
11	9, 10	eleqtrri 2308	1 ⊢ ∅ ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  [wsb 1811   ∈ wcel 2203  {cab 2218  ∀wral 2520  ∅c0 3508  ∩ cint 3949  suc csuc 4486  ωcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-nul 4236

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-dif 3213  df-nul 3509  df-int 3950  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  peano5  4720  limom  4736  nnregexmid  4743  omsinds  4744  nnpredcl  4745  frec0g  6628  frecabcl  6630  frecrdg  6639  oa1suc  6700  nna0r  6711  nnm0r  6712  nnmcl  6714  nnmsucr  6721  1onn  6753  nnm1  6758  nnaordex  6761  nnawordex  6762  php5  7112  php5dom  7117  0fi  7141  findcard2  7146  findcard2s  7147  infm  7164  inffiexmid  7166  0ct  7398  ctmlemr  7399  ctssdclemn0  7401  ctssdc  7404  omct  7408  nninfisol  7424  fodjum  7437  fodju0  7438  ctssexmid  7441  nninfwlpoimlemg  7466  nninfwlpoimlemginf  7467  1lt2pi  7655  nq0m0r  7771  nq0a0  7772  prarloclem5  7815  frec2uzrand  10767  frecuzrdg0  10775  frecuzrdg0t  10784  frecfzennn  10788  0tonninf  10802  1tonninf  10803  hashinfom  11141  hashunlem  11168  hash1  11176  nninfctlemfo  12736  ennnfonelemj0  13152  ennnfonelem1  13158  ennnfonelemhf1o  13164  ennnfonelemhom  13166  fnpr2o  13552  fvpr0o  13554  xpscf  13560  bj-nn0suc  16734  bj-nn0sucALT  16748  012of  16767  2o01f  16768  pwle2  16772  pwf1oexmid  16773  subctctexmid  16774  peano3nninf  16785  nninfall  16787  nninfsellemdc  16788  nninfsellemeq  16792  nninffeq  16798  nnnninfex  16800  isomninnlem  16814  iswomninnlem  16834  ismkvnnlem  16837