Theorem peano1 4721

Description: Zero is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 15-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
peano1	⊢ ∅ ∈ ω

Proof of Theorem peano1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4242	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	elint 3960	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧))
3		df-clab 2221	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} ↔ [𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦))
4		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑦)
5	4	sbimi 1813	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → [𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦)
6		clelsb2 2340	. . . . 5 ⊢ ([𝑧 / 𝑦]∅ ∈ 𝑦 ↔ ∅ ∈ 𝑧)
7	5, 6	sylib 122	. . . 4 ⊢ ([𝑧 / 𝑦](∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦) → ∅ ∈ 𝑧)
8	3, 7	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)} → ∅ ∈ 𝑧)
9	2, 8	mpgbir 1502	. 2 ⊢ ∅ ∈ ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
10		dfom3 4719	. 2 ⊢ ω = ∩ {𝑦 ∣ (∅ ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 suc 𝑥 ∈ 𝑦)}
11	9, 10	eleqtrri 2310	1 ⊢ ∅ ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  [wsb 1811   ∈ wcel 2205  {cab 2220  ∀wral 2522  ∅c0 3512  ∩ cint 3954  suc csuc 4491  ωcom 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-nul 4241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-nul 3513  df-int 3955  df-iom 4718

This theorem is referenced by:  peano5  4725  limom  4741  nnregexmid  4748  omsinds  4749  nnpredcl  4750  frec0g  6641  frecabcl  6643  frecrdg  6652  oa1suc  6713  nna0r  6724  nnm0r  6725  nnmcl  6727  nnmsucr  6734  1onn  6766  nnm1  6771  nnaordex  6774  nnawordex  6775  php5  7125  php5dom  7130  0fi  7154  findcard2  7159  findcard2s  7160  infm  7177  inffiexmid  7179  0ct  7411  ctmlemr  7412  ctssdclemn0  7414  ctssdc  7417  omct  7421  nninfisol  7437  fodjum  7450  fodju0  7451  ctssexmid  7454  nninfwlpoimlemg  7479  nninfwlpoimlemginf  7480  1lt2pi  7671  nq0m0r  7787  nq0a0  7788  prarloclem5  7831  frec2uzrand  10791  frecuzrdg0  10799  frecuzrdg0t  10808  frecfzennn  10812  0tonninf  10826  1tonninf  10827  hashinfom  11166  hashunlem  11193  hash1  11201  nninfctlemfo  12761  ennnfonelemj0  13236  ennnfonelem1  13242  ennnfonelemhf1o  13248  ennnfonelemhom  13250  fnpr2o  13603  fvpr0o  13605  xpscf  13611  bj-nn0suc  16860  bj-nn0sucALT  16874  012of  16893  2o01f  16894  pwle2  16898  pwf1oexmid  16899  subctctexmid  16900  peano3nninf  16911  nninfall  16913  nninfsellemdc  16914  nninfsellemeq  16918  nninffeq  16924  nnnninfex  16926  isomninnlem  16940  iswomninnlem  16960  ismkvnnlem  16963