Theorem elixx1 9972

Description: Membership in an interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
elixx1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixx.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
2	1	ixxval 9971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝐵)})
3	2	eleq2d 2266	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝐵)}))
4		breq2 4037	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝐴𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐶))
5		breq1 4036	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝑆𝐵 ↔ 𝐶𝑆𝐵))
6	4, 5	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
7	6	elrab 2920	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
8		3anass 984	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))
9	7, 8	bitr4i 187	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵))
10	3, 9	bitrdi 196	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑆𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  ℝ^*cxr 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065

This theorem is referenced by:  elixx3g  9976  ixxssixx  9977  ixxdisj  9978  ixxss1  9979  ixxss2  9980  ixxss12  9981  elioo1  9986  elioc1  9997  elico1  9998  elicc1  9999