ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leadd1i GIF version

Theorem leadd1i 8382
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
lt2.2 𝐵 ∈ ℝ
lt2.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
leadd1i (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1i
StepHypRef Expression
1 lt2.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt2.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt2.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 leadd1 8309 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4mp3an 1319 1 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  cr 7733   + caddc 7737  cle 7915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-i2m1 7839  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-iota 5137  df-fv 5180  df-ov 5829  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator