Theorem mapval 6777

Description: The value of set exponentiation (inference version). (𝐴 ↑_𝑚 𝐵) is the set of all functions that map from 𝐵 to 𝐴. Definition 10.24 of [Kunen] p. 24. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapval.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mapval.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapval	⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐵⟶𝐴}

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapval.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mapval.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		mapvalg 6775	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐵⟶𝐴})
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐵⟶𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  {cab 2195  Vcvv 2779  ⟶wf 5290  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-map 6767

This theorem is referenced by:  exmidpw2en  7042  nninfex  7256  psrval  14595