ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmapg GIF version

Theorem elmapg 6398
Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵𝐴))

Proof of Theorem elmapg
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapvalg 6395 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝑚 𝐵) = {𝑔𝑔:𝐵𝐴})
21eleq2d 2157 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔𝑔:𝐵𝐴}))
3 fex2 5164 . . . . 5 ((𝐶:𝐵𝐴𝐵𝑊𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
433com13 1148 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶:𝐵𝐴) → 𝐶 ∈ V)
543expia 1145 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶:𝐵𝐴𝐶 ∈ V))
6 feq1 5131 . . . 4 (𝑔 = 𝐶 → (𝑔:𝐵𝐴𝐶:𝐵𝐴))
76elab3g 2764 . . 3 ((𝐶:𝐵𝐴𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ {𝑔𝑔:𝐵𝐴} ↔ 𝐶:𝐵𝐴))
85, 7syl 14 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ {𝑔𝑔:𝐵𝐴} ↔ 𝐶:𝐵𝐴))
92, 8bitrd 186 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1438  {cab 2074  Vcvv 2619  wf 4998  (class class class)co 5634  𝑚 cmap 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-map 6387
This theorem is referenced by:  elmapd  6399  mapdm0  6400  elmapi  6407  elmap  6414  map0e  6423  map0g  6425  fdiagfn  6429  map1  6509  mapxpen  6544  isomnimap  6772  enomnilem  6773  hashfacen  10206  nnsf  11541
  Copyright terms: Public domain W3C validator