Theorem elmapg 6935

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴})
2	1	eleq2d 2308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴}))
3		fex2 5556	. . . . 5 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
4	3	3com13 1239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶:𝐵⟶𝐴) → 𝐶 ∈ V)
5	4	3expia 1236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V))
6		feq1 5516	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (𝑔:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
7	6	elab3g 2977	. . 3 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
9	2, 8	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821  ⟶wf 5373  (class class class)co 6085   ↑_𝑚 cmap 6922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924

This theorem is used by:  elmapd  6936  mapdm0  6937  elmapi  6944  elmap  6958  map0e  6967  map0g  6969  fdiagfn  6974  ixpssmap2g  7009  map1  7101  mapxpen  7148  infnninf  7464  isomnimap  7477  enomnilem  7478  ismkvmap  7494  enmkvlem  7501  iswomnimap  7506  enwomnilem  7509  hashfacen  11286  wrdnval  11337  omctfn  13336  pwselbasb  14208  psrbag  15055  psrbagaddclfi  15063  iscn  15300  iscnp  15302  cndis  15344  ispsmet  15426  ismet  15447  isxmet  15448  elcncf  15676  elply2  15838  plyf  15840  elplyr  15843  plyaddlem  15852  plymullem  15853  plyco  15862  nnsf  17060