Theorem elmapg 6555

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 6552	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴})
2	1	eleq2d 2209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴}))
3		fex2 5291	. . . . 5 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
4	3	3com13 1186	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶:𝐵⟶𝐴) → 𝐶 ∈ V)
5	4	3expia 1183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V))
6		feq1 5255	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (𝑔:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
7	6	elab3g 2835	. . 3 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
9	2, 8	bitrd 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480  {cab 2125  Vcvv 2686  ⟶wf 5119  (class class class)co 5774   ↑_𝑚 cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by:  elmapd  6556  mapdm0  6557  elmapi  6564  elmap  6571  map0e  6580  map0g  6582  fdiagfn  6586  ixpssmap2g  6621  map1  6706  mapxpen  6742  isomnimap  7009  enomnilem  7010  ismkvmap  7028  hashfacen  10579  iscn  12366  iscnp  12368  cndis  12410  ispsmet  12492  ismet  12513  isxmet  12514  elcncf  12729  nnsf  13199