Theorem mndid 13473

Description: A monoid has a two-sided identity element. (Contributed by NM, 16-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndid	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥, + ,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐺   𝑢, +

Proof of Theorem mndid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	ismnd 13467	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))) ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥)))
4	3	simprbi 275	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  +_gcplusg 13125  Mndcmnd 13464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465

This theorem is referenced by:  mndideu  13474  mndidcl  13478  mndlrid  13482  prds0g  13497