Theorem prds0g 13490

Description: The identity in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmndd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsmndd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)

Assertion

Ref	Expression
prds0g	⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem prds0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmndd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsmndd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsmndd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsmndd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
9		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	prdsidlem 13488	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)))
11		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
12	1, 6, 4, 8	prdsmndd 13489	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
13	2, 3	mndid 13466	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
15	2, 11, 3, 14	ismgmid 13418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅)))
16	10, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅))
17	16	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ∘ ccom 4723  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  0_gc0g 13297  X_scprds 13306  Mndcmnd 13457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458

This theorem is referenced by:  pws0g  13492  prdsgrpd  13650  prdsinvgd  13651