Theorem mndidcl 13518

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2231	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 13513	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 13466	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  0_gc0g 13344  Mndcmnd 13504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505

This theorem is referenced by:  mndbn0  13519  hashfinmndnn  13520  mndpfo  13526  prdsidlem  13535  imasmnd  13541  idmhm  13557  mhmf1o  13558  issubmd  13562  submid  13565  0subm  13572  0mhm  13574  mhmco  13578  mhmeql  13580  gsumvallem2  13581  gsumfzz  13583  gsumfzcl  13587  dfgrp2  13615  grpidcl  13617  mhmid  13707  mhmmnd  13708  mulgnn0cl  13730  mulgnn0z  13741  gsumfzmptfidmadd  13931  srgidcl  13995  srg0cl  13996  ringidcl  14039  gfsumcl  16714