Theorem mndidcl 13801

Description: The identity element of a monoid belongs to the monoid. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndidcl	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndidcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndidcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndidcl.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2238	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 3	mndid 13796	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	mgmidcl 13756	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  Basecbs 13409  +_gcplusg 13489  0_gc0g 13668  Mndcmnd 13787

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-plusg 13502  df-0g 13670  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788

This theorem is used by:  mndbn0  13802  hashfinmndnn  13803  mndpfo  13809  imasmnd  13818  idmhm  13834  mhmf1o  13835  issubmd  13839  submid  13842  0subm  13849  0mhm  13851  mhmco  13855  mhmeql  13857  gsumvallem2  13858  gzsumcl  13862  dfgrp2  13890  grpidcl  13892  mhmid  13976  mhmmnd  13977  mulgnn0cl  13999  mulgnn0z  14010  cntzsubm  14169  gsumzfi  14247  gsumclfi  14248  gsummptfidmadd  14250  gsummptfidmsplit  14253  gsum2dfi  14272  prdsidlem  14299  srgidcl  14386  srg0cl  14387  ringidcl  14431