Theorem pw2dvdseulemle 12078

Description: Lemma for pw2dvdseu 12079. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2dvdseulemle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a	⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b	⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseulemle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvdseulemle.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9159	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		pw2dvdseulemle.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9159	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		pw2dvdseulemle.n2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6		2cnd 8921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8		peano2nn0 9145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
10	1	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12		nn0ltp1le 9244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
13	7, 10, 12	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
14	11, 13	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15		nn0sub2 9255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1227	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
17	6, 16, 9	expaddd 10579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
18	9	nn0cnd 9160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
19	10	nn0cnd 9160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	18, 19	pncan3d 8203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
21	20	oveq2d 5852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22		pw2dvdseulemle.2a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
23	22	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
24	21, 23	eqbrtrd 3998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
25	17, 24	eqbrtrrd 4000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26		2nn 9009	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28	27, 9	nnexpcld 10599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
30	27, 16	nnexpcld 10599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32		pw2dvdseulemle.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		muldvds1 11742	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1227	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
37	25, 36	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
38	5, 37	mtand 655	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
39	2, 4, 38	nltled 8010	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836  1c1 7745   + caddc 7747   · cmul 7749   < clt 7924   ≤ cle 7925   − cmin 8060  ℕcn 8848  2c2 8899  ℕ₀cn0 9105  ℤcz 9182  ↑cexp 10444   ∥ cdvds 11713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-dvds 11714

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12079