Theorem pw2dvdseulemle 12305

Description: Lemma for pw2dvdseu 12306. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2dvdseulemle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a	⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b	⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseulemle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvdseulemle.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9294	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		pw2dvdseulemle.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9294	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		pw2dvdseulemle.n2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6		2cnd 9055	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8		peano2nn0 9280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
10	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12		nn0ltp1le 9379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
13	7, 10, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
14	11, 13	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15		nn0sub2 9390	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
17	6, 16, 9	expaddd 10746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
18	9	nn0cnd 9295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
19	10	nn0cnd 9295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	18, 19	pncan3d 8333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
21	20	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22		pw2dvdseulemle.2a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
24	21, 23	eqbrtrd 4051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
25	17, 24	eqbrtrrd 4053	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26		2nn 9143	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28	27, 9	nnexpcld 10766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
30	27, 16	nnexpcld 10766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 9438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32		pw2dvdseulemle.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 9438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		muldvds1 11959	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
37	25, 36	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
38	5, 37	mtand 666	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
39	2, 4, 38	nltled 8140	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℕcn 8982  2c2 9033  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ↑cexp 10609   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12306