Theorem pw2dvdseulemle 12857

Description: Lemma for pw2dvdseu 12858. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2dvdseulemle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a	⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b	⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseulemle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvdseulemle.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9550	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		pw2dvdseulemle.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9550	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		pw2dvdseulemle.n2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6		2cnd 9306	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8		peano2nn0 9532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
10	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12		nn0ltp1le 9636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
13	7, 10, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
14	11, 13	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15		nn0sub2 9647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
17	6, 16, 9	expaddd 11033	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
18	9	nn0cnd 9551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
19	10	nn0cnd 9551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	18, 19	pncan3d 8583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
21	20	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22		pw2dvdseulemle.2a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
23	22	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
24	21, 23	eqbrtrd 4130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
25	17, 24	eqbrtrrd 4132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26		2nn 9395	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28	27, 9	nnexpcld 11053	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
30	27, 16	nnexpcld 11053	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 9695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32		pw2dvdseulemle.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 9695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		muldvds1 12495	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
37	25, 36	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
38	5, 37	mtand 671	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
39	2, 4, 38	nltled 8390	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   < clt 8304   ≤ cle 8305   − cmin 8440  ℕcn 9233  2c2 9284  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ↑cexp 10896   ∥ cdvds 12466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-dvds 12467

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12858