ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvdseulemle GIF version

Theorem pw2dvdseulemle 11027
Description: Lemma for pw2dvdseu 11028. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pw2dvdseulemle.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
pw2dvdseulemle (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle
StepHypRef Expression
1 pw2dvdseulemle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
21nn0red 8660 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 pw2dvdseulemle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
43nn0red 8660 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 pw2dvdseulemle.n2b . . 3 (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6 2cnd 8430 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
73adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8 peano2nn0 8646 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
101adantr 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11 simpr 108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12 nn0ltp1le 8745 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
137, 10, 12syl2anc 403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
1411, 13mpbid 145 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15 nn0sub2 8753 . . . . . . 7 (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
169, 10, 14, 15syl3anc 1172 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
176, 16, 9expaddd 9985 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
189nn0cnd 8661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
1910nn0cnd 8661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
2018, 19pncan3d 7740 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
2120oveq2d 5629 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22 pw2dvdseulemle.2a . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
2322adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
2421, 23eqbrtrd 3840 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
2517, 24eqbrtrrd 3842 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26 2nn 8511 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
2827, 9nnexpcld 10005 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
2928nnzd 8800 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
3027, 16nnexpcld 10005 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
3130nnzd 8800 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32 pw2dvdseulemle.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3332adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
3433nnzd 8800 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35 muldvds1 10703 . . . . 5 (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
3629, 31, 34, 35syl3anc 1172 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
3725, 36mpd 13 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
385, 37mtand 624 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
392, 4, 38nltled 7548 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466  cle 7467  cmin 7597  cn 8357  2c2 8407  0cn0 8606  cz 8683  cexp 9853  cdvds 10678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-iseq 9780  df-iexp 9854  df-dvds 10679
This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  11028
  Copyright terms: Public domain W3C validator