ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvdseulemle GIF version

Theorem pw2dvdseulemle 12202
Description: Lemma for pw2dvdseu 12203. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pw2dvdseulemle.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
pw2dvdseulemle (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle
StepHypRef Expression
1 pw2dvdseulemle.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
21nn0red 9261 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 pw2dvdseulemle.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
43nn0red 9261 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 pw2dvdseulemle.n2b . . 3 (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6 2cnd 9023 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
73adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8 peano2nn0 9247 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
101adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12 nn0ltp1le 9346 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
137, 10, 12syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
1411, 13mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15 nn0sub2 9357 . . . . . . 7 (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
169, 10, 14, 15syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
176, 16, 9expaddd 10690 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
189nn0cnd 9262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
1910nn0cnd 9262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
2018, 19pncan3d 8302 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
2120oveq2d 5913 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22 pw2dvdseulemle.2a . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
2322adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
2421, 23eqbrtrd 4040 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
2517, 24eqbrtrrd 4042 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26 2nn 9111 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
2827, 9nnexpcld 10710 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
2928nnzd 9405 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
3027, 16nnexpcld 10710 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
3130nnzd 9405 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32 pw2dvdseulemle.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3332adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
3433nnzd 9405 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35 muldvds1 11858 . . . . 5 (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
3629, 31, 34, 35syl3anc 1249 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
3725, 36mpd 13 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
385, 37mtand 666 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
392, 4, 38nltled 8109 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  1c1 7843   + caddc 7845   · cmul 7847   < clt 8023  cle 8024  cmin 8159  cn 8950  2c2 9001  0cn0 9207  cz 9284  cexp 10553  cdvds 11829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-dvds 11830
This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12203
  Copyright terms: Public domain W3C validator