Theorem pw2dvdseulemle 11637

Description: Lemma for pw2dvdseu 11638. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2dvdseulemle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a	⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b	⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseulemle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvdseulemle.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 8883	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		pw2dvdseulemle.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 8883	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		pw2dvdseulemle.n2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6		2cnd 8651	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7	3	adantr 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8		peano2nn0 8869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
10	1	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12		nn0ltp1le 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
13	7, 10, 12	syl2anc 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
14	11, 13	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15		nn0sub2 8976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
17	6, 16, 9	expaddd 10267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
18	9	nn0cnd 8884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
19	10	nn0cnd 8884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	18, 19	pncan3d 7947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
21	20	oveq2d 5722	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22		pw2dvdseulemle.2a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
23	22	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
24	21, 23	eqbrtrd 3895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
25	17, 24	eqbrtrrd 3897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26		2nn 8733	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28	27, 9	nnexpcld 10287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
30	27, 16	nnexpcld 10287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 9024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32		pw2dvdseulemle.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 9024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		muldvds1 11313	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
37	25, 36	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
38	5, 37	mtand 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
39	2, 4, 38	nltled 7754	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  1c1 7501   + caddc 7503   · cmul 7505   < clt 7672   ≤ cle 7673   − cmin 7804  ℕcn 8578  2c2 8629  ℕ₀cn0 8829  ℤcz 8906  ↑cexp 10133   ∥ cdvds 11288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-dvds 11289

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  11638