Theorem pw2dvdseulemle 11834

Description: Lemma for pw2dvdseu 11835. Powers of two which do and do not divide a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2dvdseulemle.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pw2dvdseulemle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
pw2dvdseulemle.2a	⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
pw2dvdseulemle.n2b	⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseulemle	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pw2dvdseulemle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvdseulemle.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 9024	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		pw2dvdseulemle.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 9024	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		pw2dvdseulemle.n2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
6		2cnd 8786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
8		peano2nn0 9010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
10	1	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
12		nn0ltp1le 9109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
13	7, 10, 12	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴))
14	11, 13	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ≤ 𝐴)
15		nn0sub2 9117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 1) ≤ 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
16	9, 10, 14, 15	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
17	6, 16, 9	expaddd 10419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))))
18	9	nn0cnd 9025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℂ)
19	10	nn0cnd 9025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	18, 19	pncan3d 8069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1))) = 𝐴)
21	20	oveq2d 5783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) = (2↑𝐴))
22		pw2dvdseulemle.2a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
23	22	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑𝐴) ∥ 𝑁)
24	21, 23	eqbrtrd 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑((𝐵 + 1) + (𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
25	17, 24	eqbrtrrd 3947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁)
26		2nn 8874	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 2 ∈ ℕ)
28	27, 9	nnexpcld 10439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
30	27, 16	nnexpcld 10439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℕ)
31	30	nnzd 9165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ)
32		pw2dvdseulemle.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnzd 9165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		muldvds1 11507	. . . . 5 ⊢ (((2↑(𝐵 + 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1216	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((2↑(𝐵 + 1)) · (2↑(𝐴 − (𝐵 + 1)))) ∥ 𝑁 → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁))
37	25, 36	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (2↑(𝐵 + 1)) ∥ 𝑁)
38	5, 37	mtand 654	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 𝐴)
39	2, 4, 38	nltled 7876	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926  ℕcn 8713  2c2 8764  ℕ₀cn0 8970  ℤcz 9047  ↑cexp 10285   ∥ cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  11835