ivthinclemuopn - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem ivthinclemuopn 13410

Description: Lemma for ivthinc 13415. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
ivthinclemuopn.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
ivthinclemuopn	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)

Distinct variable groups: 𝑤,𝐴 𝑥,𝐴,𝑦 𝑤,𝐵 𝑥,𝐵,𝑦 𝑤,𝐹 𝑥,𝐹,𝑦 𝑅,𝑞 𝑆,𝑞 𝑤,𝑆 𝑥,𝑆,𝑦 𝑤,𝑈 𝜑,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑤,𝑞) 𝐴(𝑞) 𝐵(𝑞) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑤) 𝑈(𝑥,𝑦,𝑞) 𝐹(𝑞) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemuopn Dummy variables 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
2		ivth.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3		ivthinclemuopn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑅)
4		fveq2 5496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑆))
5	4	breq2d 4001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑆)))
6		ivthinclem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
7	5, 6	elrab2 2889	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑅 ↔ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑆)))
8	3, 7	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑆)))
9	8	simpld 111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	2, 9	sseldd 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
11		fveq2 5496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
12	11	eleq1d 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 2543	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	12, 14, 9	rspcdva 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
16		ivth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
17	15, 16	resubcld 8300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ)
18	8	simprd 113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝑆))
19	16, 15	posdifd 8451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
20	18, 19	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
21	17, 20	elrpd 9650	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ⁺)
22		cncfi 13359	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
23	1, 10, 21, 22	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
24		ivth.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
25		ivth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
26		elicc2 9895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵)))
27	24, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵)))
28	9, 27	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵))
29	28	simp1d 1004	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
30	29	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
31		simprl 526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ⁺)
32	31	rphalfcld 9666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺)
33	32	rpred 9653	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
34	30, 33	resubcld 8300	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ)
35	24	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	31	rpred 9653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
37	30, 36	resubcld 8300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − 𝑑) ∈ ℝ)
38	15	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
39	38	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℂ)
40	16	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
41	40	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℂ)
42	39, 41	nncand 8235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) = 𝑈)
43		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝑆 − 𝑑) < 𝐴)
44	24	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	29	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ)
46	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ⁺)
47	46	rpred 9653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
48	45, 47	readdcld 7949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ)
49	28	simp2d 1005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑆)
50	49	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑆)
51	45, 46	ltaddrpd 9687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑑))
52	44, 45, 48, 50, 51	lelttrd 8044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑆 + 𝑑))
53	44, 45, 47	absdifltd 11142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ ((𝑆 − 𝑑) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑆 + 𝑑))))
54	43, 52, 53	mpbir2and 939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑)
55		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(𝑧 − 𝑆)) = (abs‘(𝐴 − 𝑆)))
56	55	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑))
57	56	imbrov2fvoveq 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))))
58		simplrr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
59	24	rexrd 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
60	25	rexrd 7969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
61		ivth.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
62	24, 25, 61	ltled 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
63		lbicc2 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64	59, 60, 62, 63	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
65	2, 64	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
66	65	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐷)
67	57, 58, 66	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
68	54, 67	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
69		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
70	69	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
71	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
72	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	70, 71, 72	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
74	73	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
75	17	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ)
76	74, 38, 75	absdifltd 11142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) < ((𝐹‘𝑆) + ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))))
77	68, 76	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) < ((𝐹‘𝑆) + ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))))
78	77	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴))
79	42, 78	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
80	16	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℝ)
81		ivth.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
82	81	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
83	82	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
84	74, 80, 83	ltnsymd 8039	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
85	79, 84	pm2.65da 656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ¬ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴)
86	35, 37, 85	nltled 8040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆 − 𝑑))
87		rphalflt 9640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) < 𝑑)
88	31, 87	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) < 𝑑)
89	33, 36, 30, 88	ltsub2dd 8477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − 𝑑) < (𝑆 − (𝑑 / 2)))
90	35, 37, 34, 86, 89	lelttrd 8044	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 < (𝑆 − (𝑑 / 2)))
91	35, 34, 90	ltled 8038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)))
92	25	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
93	30, 32	ltsubrpd 9686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆)
94	34, 30, 93	ltled 8038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝑆)
95	28	simp3d 1006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐵)
96	95	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ≤ 𝐵)
97	34, 30, 92, 94, 96	letrd 8043	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)
98		elicc2 9895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
99	35, 92, 98	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
100	34, 91, 97, 99	mpbir3and 1175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
101		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
102	101	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ))
103	102, 71, 100	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ)
104	15	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
105		breq2 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆))
106		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
107	106	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆)))
108	105, 107	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆))))
109		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦))
110	101	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)))
111	109, 110	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦))))
112	111	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦))))
113		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
114	113	expr 373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
115	114	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
116	115	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
117	116	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
118	112, 117, 100	rspcdva 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)))
119	9	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120	108, 118, 119	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆)))
121	93, 120	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆))
122	103, 104, 121	ltled 8038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ≤ (𝐹‘𝑆))
123	103, 104, 122	abssuble0d 11141	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
124	34	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℂ)
125	30	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℂ)
126	124, 125	abssubd 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2)))))
127	33	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℂ)
128	125, 127	nncand 8235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2))) = (𝑑 / 2))
129	128	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2)))) = (abs‘(𝑑 / 2)))
130	32	rpge0d 9657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 0 ≤ (𝑑 / 2))
131	33, 130	absidd 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑑 / 2)) = (𝑑 / 2))
132	126, 129, 131	3eqtrd 2207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (𝑑 / 2))
133	132, 88	eqbrtrd 4011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑)
134		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (abs‘(𝑧 − 𝑆)) = (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)))
135	134	breq1d 3999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑))
136	135	imbrov2fvoveq 5878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))))
137		simprr 527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
138	2	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
139	138, 100	sseldd 3148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝐷)
140	136, 137, 139	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
141	133, 140	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
142	123, 141	eqbrtrrd 4013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
143	16	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
144	143, 103, 104	ltsub2d 8474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ↔ ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
145	142, 144	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
146		fveq2 5496	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
147	146	breq2d 4001	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
148	147, 6	elrab2 2889	. . . 4 ⊢ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
149	100, 145, 148	sylanbrc 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅)
150		breq1 3992	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑞 < 𝑆 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆))
151	150	rspcev 2834	. . 3 ⊢ (((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)
152	149, 93, 151	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)
153	23, 152	rexlimddv 2592	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∧ w3a 973 = wceq 1348 ∈ wcel 2141 ∀wral 2448 ∃wrex 2449 {crab 2452 ⊆ wss 3121 class class class wbr 3989 ‘cfv 5198 (class class class)co 5853 ℂcc 7772 ℝcr 7773 0cc0 7774 + caddc 7777 ℝ^*cxr 7953 < clt 7954 ≤ cle 7955 − cmin 8090 / cdiv 8589 2c2 8929 ℝ⁺crp 9610 [,]cicc 9848 abscabs 10961 –cn→ccncf 13351

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-map 6628 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-rp 9611 df-icc 9852 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-cncf 13352

This theorem is referenced by: ivthinclemur 13411

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