ivthinclemuopn - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem ivthinclemuopn 12824

Description: Lemma for ivthinc 12829. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
ivthinclemuopn.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
ivthinclemuopn	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)

Distinct variable groups: 𝑤,𝐴 𝑥,𝐴,𝑦 𝑤,𝐵 𝑥,𝐵,𝑦 𝑤,𝐹 𝑥,𝐹,𝑦 𝑅,𝑞 𝑆,𝑞 𝑤,𝑆 𝑥,𝑆,𝑦 𝑤,𝑈 𝜑,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑤,𝑞) 𝐴(𝑞) 𝐵(𝑞) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑤) 𝑈(𝑥,𝑦,𝑞) 𝐹(𝑞) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemuopn Dummy variables 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
2		ivth.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3		ivthinclemuopn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑅)
4		fveq2 5429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑆))
5	4	breq2d 3949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑆)))
6		ivthinclem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
7	5, 6	elrab2 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑅 ↔ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑆)))
8	3, 7	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑆)))
9	8	simpld 111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	2, 9	sseldd 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷)
11		fveq2 5429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
12	11	eleq1d 2209	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ))
13		ivth.8	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	ralrimiva 2508	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	12, 14, 9	rspcdva 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
16		ivth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
17	15, 16	resubcld 8167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ)
18	8	simprd 113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝑆))
19	16, 15	posdifd 8318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
20	18, 19	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
21	17, 20	elrpd 9510	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ⁺)
22		cncfi 12773	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
23	1, 10, 21, 22	syl3anc 1217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
24		ivth.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
25		ivth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
26		elicc2 9751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵)))
27	24, 25, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵)))
28	9, 27	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵))
29	28	simp1d 994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
30	29	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
31		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ⁺)
32	31	rphalfcld 9526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺)
33	32	rpred 9513	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
34	30, 33	resubcld 8167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ)
35	24	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	31	rpred 9513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
37	30, 36	resubcld 8167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − 𝑑) ∈ ℝ)
38	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
39	38	recnd 7818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℂ)
40	16	recnd 7818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
41	40	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℂ)
42	39, 41	nncand 8102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) = 𝑈)
43		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝑆 − 𝑑) < 𝐴)
44	24	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	29	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ)
46	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ⁺)
47	46	rpred 9513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
48	45, 47	readdcld 7819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ)
49	28	simp2d 995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑆)
50	49	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑆)
51	45, 46	ltaddrpd 9547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑑))
52	44, 45, 48, 50, 51	lelttrd 7911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑆 + 𝑑))
53	44, 45, 47	absdifltd 10982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ ((𝑆 − 𝑑) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑆 + 𝑑))))
54	43, 52, 53	mpbir2and 929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑)
55		fvoveq1 5805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(𝑧 − 𝑆)) = (abs‘(𝐴 − 𝑆)))
56	55	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑))
57	56	imbrov2fvoveq 5807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))))
58		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
59	24	rexrd 7839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
60	25	rexrd 7839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
61		ivth.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
62	24, 25, 61	ltled 7905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
63		lbicc2 9797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64	59, 60, 62, 63	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
65	2, 64	sseldd 3103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
66	65	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐷)
67	57, 58, 66	rspcdva 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
68	54, 67	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
69		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
70	69	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
71	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
72	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	70, 71, 72	rspcdva 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
74	73	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
75	17	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ)
76	74, 38, 75	absdifltd 10982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) < ((𝐹‘𝑆) + ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))))
77	68, 76	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) < ((𝐹‘𝑆) + ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))))
78	77	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴))
79	42, 78	eqbrtrrd 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
80	16	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℝ)
81		ivth.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
82	81	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
83	82	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
84	74, 80, 83	ltnsymd 7906	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
85	79, 84	pm2.65da 651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ¬ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴)
86	35, 37, 85	nltled 7907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆 − 𝑑))
87		rphalflt 9500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) < 𝑑)
88	31, 87	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) < 𝑑)
89	33, 36, 30, 88	ltsub2dd 8344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − 𝑑) < (𝑆 − (𝑑 / 2)))
90	35, 37, 34, 86, 89	lelttrd 7911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 < (𝑆 − (𝑑 / 2)))
91	35, 34, 90	ltled 7905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)))
92	25	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
93	30, 32	ltsubrpd 9546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆)
94	34, 30, 93	ltled 7905	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝑆)
95	28	simp3d 996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐵)
96	95	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ≤ 𝐵)
97	34, 30, 92, 94, 96	letrd 7910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)
98		elicc2 9751	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
99	35, 92, 98	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
100	34, 91, 97, 99	mpbir3and 1165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
101		fveq2 5429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
102	101	eleq1d 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ))
103	102, 71, 100	rspcdva 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ)
104	15	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)
105		breq2 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆))
106		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆))
107	106	breq2d 3949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆)))
108	105, 107	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑆 → (((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆))))
109		breq1 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦))
110	101	breq1d 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)))
111	109, 110	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦))))
112	111	ralbidv 2438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦))))
113		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
114	113	expr 373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
115	114	ralrimiva 2508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
116	115	ralrimiva 2508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
117	116	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
118	112, 117, 100	rspcdva 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)))
119	9	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120	108, 118, 119	rspcdva 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆)))
121	93, 120	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆))
122	103, 104, 121	ltled 7905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ≤ (𝐹‘𝑆))
123	103, 104, 122	abssuble0d 10981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
124	34	recnd 7818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℂ)
125	30	recnd 7818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℂ)
126	124, 125	abssubd 10997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2)))))
127	33	recnd 7818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℂ)
128	125, 127	nncand 8102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2))) = (𝑑 / 2))
129	128	fveq2d 5433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2)))) = (abs‘(𝑑 / 2)))
130	32	rpge0d 9517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 0 ≤ (𝑑 / 2))
131	33, 130	absidd 10971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑑 / 2)) = (𝑑 / 2))
132	126, 129, 131	3eqtrd 2177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (𝑑 / 2))
133	132, 88	eqbrtrd 3958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑)
134		fvoveq1 5805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (abs‘(𝑧 − 𝑆)) = (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)))
135	134	breq1d 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑))
136	135	imbrov2fvoveq 5807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))))
137		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
138	2	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
139	138, 100	sseldd 3103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝐷)
140	136, 137, 139	rspcdva 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
141	133, 140	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
142	123, 141	eqbrtrrd 3960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))
143	16	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
144	143, 103, 104	ltsub2d 8341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ↔ ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))
145	142, 144	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
146		fveq2 5429	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
147	146	breq2d 3949	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
148	147, 6	elrab2 2847	. . . 4 ⊢ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
149	100, 145, 148	sylanbrc 414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅)
150		breq1 3940	. . . 4 ⊢ (𝑞 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑞 < 𝑆 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆))
151	150	rspcev 2793	. . 3 ⊢ (((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)
152	149, 93, 151	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)
153	23, 152	rexlimddv 2557	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∧ w3a 963 = wceq 1332 ∈ wcel 1481 ∀wral 2417 ∃wrex 2418 {crab 2421 ⊆ wss 3076 class class class wbr 3937 ‘cfv 5131 (class class class)co 5782 ℂcc 7642 ℝcr 7643 0cc0 7644 + caddc 7647 ℝ^*cxr 7823 < clt 7824 ≤ cle 7825 − cmin 7957 / cdiv 8456 2c2 8795 ℝ⁺crp 9470 [,]cicc 9704 abscabs 10801 –cn→ccncf 12765

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-map 6552 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-rp 9471 df-icc 9708 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-cncf 12766

This theorem is referenced by: ivthinclemur 12825

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