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Theorem ivthinclemuopn 13375
Description: Lemma for ivthinc 13380. The upper cut is open. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
ivthinclemuopn.r (𝜑𝑆𝑅)
Assertion
Ref Expression
ivthinclemuopn (𝜑 → ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑥,𝐴,𝑦   𝑤,𝐵   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝑅,𝑞   𝑆,𝑞   𝑤,𝑆   𝑥,𝑆,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑞)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemuopn
Dummy variables 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
2 ivth.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
3 ivthinclemuopn.r . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑅)
4 fveq2 5494 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑆 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑆))
54breq2d 3999 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑆 → (𝑈 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑆)))
6 ivthinclem.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
75, 6elrab2 2889 . . . . . 6 (𝑆𝑅 ↔ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑆)))
83, 7sylib 121 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹𝑆)))
98simpld 111 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵))
102, 9sseldd 3148 . . 3 (𝜑𝑆𝐷)
11 fveq2 5494 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
1211eleq1d 2239 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑆) ∈ ℝ))
13 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1413ralrimiva 2543 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1512, 14, 9rspcdva 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
16 ivth.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1715, 16resubcld 8293 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ)
188simprd 113 . . . . 5 (𝜑𝑈 < (𝐹𝑆))
1916, 15posdifd 8444 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝑆) ↔ 0 < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
2018, 19mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) − 𝑈))
2117, 20elrpd 9643 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ+)
22 cncfi 13324 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) ∧ 𝑆𝐷 ∧ ((𝐹𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
231, 10, 21, 22syl3anc 1233 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
24 ivth.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
25 ivth.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
26 elicc2 9888 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑆𝑆𝐵)))
2724, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑆𝑆𝐵)))
289, 27mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑆𝑆𝐵))
2928simp1d 1004 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3029adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
31 simprl 526 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
3231rphalfcld 9659 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ+)
3332rpred 9646 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
3430, 33resubcld 8293 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ)
3524adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3631rpred 9646 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ)
3730, 36resubcld 8293 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆𝑑) ∈ ℝ)
3815ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
3938recnd 7941 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (𝐹𝑆) ∈ ℂ)
4016recnd 7941 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
4140ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℂ)
4239, 41nncand 8228 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ((𝐹𝑆) − ((𝐹𝑆) − 𝑈)) = 𝑈)
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (𝑆𝑑) < 𝐴)
4424ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4529ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ)
4631adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4746rpred 9646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ)
4845, 47readdcld 7942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ)
4928simp2d 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝑆)
5049ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝐴𝑆)
5145, 46ltaddrpd 9680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑑))
5244, 45, 48, 50, 51lelttrd 8037 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑆 + 𝑑))
5344, 45, 47absdifltd 11135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴𝑆)) < 𝑑 ↔ ((𝑆𝑑) < 𝐴𝐴 < (𝑆 + 𝑑))))
5443, 52, 53mpbir2and 939 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝑆)) < 𝑑)
55 fvoveq1 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(𝑧𝑆)) = (abs‘(𝐴𝑆)))
5655breq1d 3997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴𝑆)) < 𝑑))
5756imbrov2fvoveq 5876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐴 → (((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘(𝐴𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈))))
58 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
5924rexrd 7962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6025rexrd 7962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
61 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6224, 25, 61ltled 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝐵)
63 lbicc2 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6459, 60, 62, 63syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
652, 64sseldd 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐷)
6665ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝐴𝐷)
6757, 58, 66rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
6854, 67mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈))
69 fveq2 5494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
7069eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
7114adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7264adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7370, 71, 72rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
7473adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
7517ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ((𝐹𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ)
7674, 38, 75absdifltd 11135 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈) ↔ (((𝐹𝑆) − ((𝐹𝑆) − 𝑈)) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) < ((𝐹𝑆) + ((𝐹𝑆) − 𝑈)))))
7768, 76mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (((𝐹𝑆) − ((𝐹𝑆) − 𝑈)) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) < ((𝐹𝑆) + ((𝐹𝑆) − 𝑈))))
7877simpld 111 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ((𝐹𝑆) − ((𝐹𝑆) − 𝑈)) < (𝐹𝐴))
7942, 78eqbrtrrd 4011 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝑈 < (𝐹𝐴))
8016ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℝ)
81 ivth.9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
8281simpld 111 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) < 𝑈)
8382ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → (𝐹𝐴) < 𝑈)
8474, 80, 83ltnsymd 8032 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆𝑑) < 𝐴) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐴))
8579, 84pm2.65da 656 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ¬ (𝑆𝑑) < 𝐴)
8635, 37, 85nltled 8033 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆𝑑))
87 rphalflt 9633 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ+ → (𝑑 / 2) < 𝑑)
8831, 87syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) < 𝑑)
8933, 36, 30, 88ltsub2dd 8470 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆𝑑) < (𝑆 − (𝑑 / 2)))
9035, 37, 34, 86, 89lelttrd 8037 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 < (𝑆 − (𝑑 / 2)))
9135, 34, 90ltled 8031 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)))
9225adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9330, 32ltsubrpd 9679 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆)
9434, 30, 93ltled 8031 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝑆)
9528simp3d 1006 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐵)
9695adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆𝐵)
9734, 30, 92, 94, 96letrd 8036 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)
98 elicc2 9888 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
9935, 92, 98syl2anc 409 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵)))
10034, 91, 97, 99mpbir3and 1175 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
101 fveq2 5494 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
102101eleq1d 2239 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ))
103102, 71, 100rspcdva 2839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ)
10415adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
105 breq2 3991 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆))
106 fveq2 5494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
107106breq2d 3999 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑆)))
108105, 107imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑆 → (((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑆))))
109 breq1 3990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦))
110101breq1d 3997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑦)))
111109, 110imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑦))))
112111ralbidv 2470 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑦))))
113 ivthinc.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
114113expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
115114ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
116115ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
117116adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
118112, 117, 100rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑦)))
1199adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵))
120108, 118, 119rspcdva 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑆)))
12193, 120mpd 13 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹𝑆))
122103, 104, 121ltled 8031 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ≤ (𝐹𝑆))
123103, 104, 122abssuble0d 11134 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑆))) = ((𝐹𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
12434recnd 7941 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℂ)
12530recnd 7941 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℂ)
126124, 125abssubd 11150 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2)))))
12733recnd 7941 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℂ)
128125, 127nncand 8228 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2))) = (𝑑 / 2))
129128fveq2d 5498 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2)))) = (abs‘(𝑑 / 2)))
13032rpge0d 9650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 0 ≤ (𝑑 / 2))
13133, 130absidd 11124 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑑 / 2)) = (𝑑 / 2))
132126, 129, 1313eqtrd 2207 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (𝑑 / 2))
133132, 88eqbrtrd 4009 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑)
134 fvoveq1 5874 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (abs‘(𝑧𝑆)) = (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)))
135134breq1d 3997 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑))
136135imbrov2fvoveq 5876 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈))))
137 simprr 527 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
1382adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
139138, 100sseldd 3148 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝐷)
140136, 137, 139rspcdva 2839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
141133, 140mpd 13 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈))
142123, 141eqbrtrrd 4011 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ((𝐹𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈))
14316adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
144143, 103, 104ltsub2d 8467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ↔ ((𝐹𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))
145142, 144mpbird 166 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
146 fveq2 5494 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))
147146breq2d 3999 . . . . 5 (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑈 < (𝐹𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
148147, 6elrab2 2889 . . . 4 ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))))
149100, 145, 148sylanbrc 415 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅)
150 breq1 3990 . . . 4 (𝑞 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑞 < 𝑆 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆))
151150rspcev 2834 . . 3 (((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆) → ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑆)
152149, 93, 151syl2anc 409 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐷 ((abs‘(𝑧𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑆))) < ((𝐹𝑆) − 𝑈)))) → ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑆)
15323, 152rexlimddv 2592 1 (𝜑 → ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  {crab 2452  wss 3121   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5851  cc 7765  cr 7766  0cc0 7767   + caddc 7770  *cxr 7946   < clt 7947  cle 7948  cmin 8083   / cdiv 8582  2c2 8922  +crp 9603  [,]cicc 9841  abscabs 10954  cnccncf 13316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-map 6626  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-rp 9604  df-icc 9845  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-cncf 13317
This theorem is referenced by:  ivthinclemur  13376
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