Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ivth.7 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ)) |
2 | | ivth.5 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷) |
3 | | ivthinclemuopn.r |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑅) |
4 | | fveq2 5494 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑆)) |
5 | 4 | breq2d 3999 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑆))) |
6 | | ivthinclem.r |
. . . . . . 7
⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)} |
7 | 5, 6 | elrab2 2889 |
. . . . . 6
⊢ (𝑆 ∈ 𝑅 ↔ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑆))) |
8 | 3, 7 | sylib 121 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑆))) |
9 | 8 | simpld 111 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
10 | 2, 9 | sseldd 3148 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷) |
11 | | fveq2 5494 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆)) |
12 | 11 | eleq1d 2239 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ)) |
13 | | ivth.8 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
14 | 13 | ralrimiva 2543 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
15 | 12, 14, 9 | rspcdva 2839 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ) |
16 | | ivth.3 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ) |
17 | 15, 16 | resubcld 8293 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ) |
18 | 8 | simprd 113 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝑆)) |
19 | 16, 15 | posdifd 8444 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝑆) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
20 | 18, 19 | mpbid 146 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) |
21 | 17, 20 | elrpd 9643 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈
ℝ+) |
22 | | cncfi 13324 |
. . 3
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐷 ∧ ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ+) →
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
23 | 1, 10, 21, 22 | syl3anc 1233 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
24 | | ivth.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
25 | | ivth.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
26 | | elicc2 9888 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵))) |
27 | 24, 25, 26 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵))) |
28 | 9, 27 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 𝐵)) |
29 | 28 | simp1d 1004 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ) |
30 | 29 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℝ) |
31 | | simprl 526 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ+) |
32 | 31 | rphalfcld 9659 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈
ℝ+) |
33 | 32 | rpred 9646 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ) |
34 | 30, 33 | resubcld 8293 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ) |
35 | 24 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ ℝ) |
36 | 31 | rpred 9646 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑑 ∈ ℝ) |
37 | 30, 36 | resubcld 8293 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − 𝑑) ∈ ℝ) |
38 | 15 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ) |
39 | 38 | recnd 7941 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℂ) |
40 | 16 | recnd 7941 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ) |
41 | 40 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℂ) |
42 | 39, 41 | nncand 8228 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) = 𝑈) |
43 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) |
44 | 24 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ) |
45 | 29 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ) |
46 | 31 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ+) |
47 | 46 | rpred 9646 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑑 ∈ ℝ) |
48 | 45, 47 | readdcld 7942 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝑆 + 𝑑) ∈ ℝ) |
49 | 28 | simp2d 1005 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑆) |
50 | 49 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝑆) |
51 | 45, 46 | ltaddrpd 9680 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑆 < (𝑆 + 𝑑)) |
52 | 44, 45, 48, 50, 51 | lelttrd 8037 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 < (𝑆 + 𝑑)) |
53 | 44, 45, 47 | absdifltd 11135 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ ((𝑆 − 𝑑) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑆 + 𝑑)))) |
54 | 43, 52, 53 | mpbir2and 939 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑) |
55 | | fvoveq1 5874 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = 𝐴 → (abs‘(𝑧 − 𝑆)) = (abs‘(𝐴 − 𝑆))) |
56 | 55 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑)) |
57 | 56 | imbrov2fvoveq 5876 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) |
58 | | simplrr 531 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
59 | 24 | rexrd 7962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
60 | 25 | rexrd 7962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
61 | | ivth.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
62 | 24, 25, 61 | ltled 8031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵) |
63 | | lbicc2 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
64 | 59, 60, 62, 63 | syl3anc 1233 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
65 | 2, 64 | sseldd 3148 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷) |
66 | 65 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐷) |
67 | 57, 58, 66 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘(𝐴 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
68 | 54, 67 | mpd 13 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) |
69 | | fveq2 5494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴)) |
70 | 69 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)) |
71 | 14 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
72 | 64 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
73 | 70, 71, 72 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ) |
74 | 73 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ) |
75 | 17 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ∈ ℝ) |
76 | 74, 38, 75 | absdifltd 11135 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈) ↔ (((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) < ((𝐹‘𝑆) + ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))))) |
77 | 68, 76 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) < ((𝐹‘𝑆) + ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) |
78 | 77 | simpld 111 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ((𝐹‘𝑆) − ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) < (𝐹‘𝐴)) |
79 | 42, 78 | eqbrtrrd 4011 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 < (𝐹‘𝐴)) |
80 | 16 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → 𝑈 ∈ ℝ) |
81 | | ivth.9 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵))) |
82 | 81 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈) |
83 | 82 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → (𝐹‘𝐴) < 𝑈) |
84 | 74, 80, 83 | ltnsymd 8032 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) ∧ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) → ¬ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)) |
85 | 79, 84 | pm2.65da 656 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ¬ (𝑆 − 𝑑) < 𝐴) |
86 | 35, 37, 85 | nltled 8033 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆 − 𝑑)) |
87 | | rphalflt 9633 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑑 ∈ ℝ+
→ (𝑑 / 2) < 𝑑) |
88 | 31, 87 | syl 14 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) < 𝑑) |
89 | 33, 36, 30, 88 | ltsub2dd 8470 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − 𝑑) < (𝑆 − (𝑑 / 2))) |
90 | 35, 37, 34, 86, 89 | lelttrd 8037 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 < (𝑆 − (𝑑 / 2))) |
91 | 35, 34, 90 | ltled 8031 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2))) |
92 | 25 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝐵 ∈ ℝ) |
93 | 30, 32 | ltsubrpd 9679 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆) |
94 | 34, 30, 93 | ltled 8031 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝑆) |
95 | 28 | simp3d 1006 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ 𝐵) |
96 | 95 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ≤ 𝐵) |
97 | 34, 30, 92, 94, 96 | letrd 8036 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵) |
98 | | elicc2 9888 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵))) |
99 | 35, 92, 98 | syl2anc 409 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) ≤ 𝐵))) |
100 | 34, 91, 97, 99 | mpbir3and 1175 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
101 | | fveq2 5494 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) |
102 | 101 | eleq1d 2239 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ)) |
103 | 102, 71, 100 | rspcdva 2839 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ∈ ℝ) |
104 | 15 | adantr 274 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ) |
105 | | breq2 3991 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆)) |
106 | | fveq2 5494 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑆)) |
107 | 106 | breq2d 3999 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆))) |
108 | 105, 107 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑆 → (((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆)))) |
109 | | breq1 3990 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦)) |
110 | 101 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦))) |
111 | 109, 110 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)))) |
112 | 111 | ralbidv 2470 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦)))) |
113 | | ivthinc.i |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) |
114 | 113 | expr 373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))) |
115 | 114 | ralrimiva 2543 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))) |
116 | 115 | ralrimiva 2543 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))) |
117 | 116 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))) |
118 | 112, 117,
100 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑦 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑦))) |
119 | 9 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
120 | 108, 118,
119 | rspcdva 2839 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆 → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆))) |
121 | 93, 120 | mpd 13 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) < (𝐹‘𝑆)) |
122 | 103, 104,
121 | ltled 8031 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ≤ (𝐹‘𝑆)) |
123 | 103, 104,
122 | abssuble0d 11134 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) = ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))) |
124 | 34 | recnd 7941 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ ℂ) |
125 | 30 | recnd 7941 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑆 ∈ ℂ) |
126 | 124, 125 | abssubd 11150 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2))))) |
127 | 33 | recnd 7941 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑑 / 2) ∈ ℂ) |
128 | 125, 127 | nncand 8228 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2))) = (𝑑 / 2)) |
129 | 128 | fveq2d 5498 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑆 − (𝑆 − (𝑑 / 2)))) = (abs‘(𝑑 / 2))) |
130 | 32 | rpge0d 9650 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 0 ≤ (𝑑 / 2)) |
131 | 33, 130 | absidd 11124 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘(𝑑 / 2)) = (𝑑 / 2)) |
132 | 126, 129,
131 | 3eqtrd 2207 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) = (𝑑 / 2)) |
133 | 132, 88 | eqbrtrd 4009 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑) |
134 | | fvoveq1 5874 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (abs‘(𝑧 − 𝑆)) = (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆))) |
135 | 134 | breq1d 3997 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 ↔ (abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑)) |
136 | 135 | imbrov2fvoveq 5876 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑧 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) ↔ ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) |
137 | | simprr 527 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
138 | 2 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷) |
139 | 138, 100 | sseldd 3148 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝐷) |
140 | 136, 137,
139 | rspcdva 2839 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((abs‘((𝑆 − (𝑑 / 2)) − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
141 | 133, 140 | mpd 13 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (abs‘((𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) |
142 | 123, 141 | eqbrtrrd 4011 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)) |
143 | 16 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ) |
144 | 143, 103,
104 | ltsub2d 8467 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))) ↔ ((𝐹‘𝑆) − (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈))) |
145 | 142, 144 | mpbird 166 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) |
146 | | fveq2 5494 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2)))) |
147 | 146 | breq2d 3999 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))) |
148 | 147, 6 | elrab2 2889 |
. . . 4
⊢ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘(𝑆 − (𝑑 / 2))))) |
149 | 100, 145,
148 | sylanbrc 415 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → (𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅) |
150 | | breq1 3990 |
. . . 4
⊢ (𝑞 = (𝑆 − (𝑑 / 2)) → (𝑞 < 𝑆 ↔ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆)) |
151 | 150 | rspcev 2834 |
. . 3
⊢ (((𝑆 − (𝑑 / 2)) ∈ 𝑅 ∧ (𝑆 − (𝑑 / 2)) < 𝑆) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆) |
152 | 149, 93, 151 | syl2anc 409 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧
∀𝑧 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑧 − 𝑆)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑆))) < ((𝐹‘𝑆) − 𝑈)))) → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆) |
153 | 23, 152 | rexlimddv 2592 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑆) |