ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infssuzledc GIF version

Theorem infssuzledc 10725
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infssuzledc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a (𝜑𝐴𝑆)
infssuzledc.dc ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
Assertion
Ref Expression
infssuzledc (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzledc
Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7467 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
21adantl 271 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
3 infssuzledc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 infssuzledc.s . . . 4 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
5 infssuzledc.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
6 infssuzledc.dc . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
73, 4, 5, 6infssuzex 10724 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
82, 7infclti 6624 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9 elrabi 2756 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
109, 4eleq2s 2177 . . 3 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
11 eluzelre 8923 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
125, 10, 113syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
132, 7inflbti 6625 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑆 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < )))
145, 13mpd 13 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < ))
158, 12, 14nltled 7506 1 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  {crab 2357   class class class wbr 3811  cfv 4968  (class class class)co 5590  infcinf 6584  cr 7251   < clt 7424  cle 7425  cz 8645  cuz 8913  ...cfz 9318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-addcom 7347  ax-addass 7349  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-sup 6585  df-inf 6586  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-inn 8316  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-fz 9319  df-fzo 9443
This theorem is referenced by:  lcmledvds  10831
  Copyright terms: Public domain W3C validator