Theorem infssuzledc 11491

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzledc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzledc

Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 7767	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
2	1	adantl 273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
3		infssuzledc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		infssuzledc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
5		infssuzledc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		infssuzledc.dc	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
7	3, 4, 5, 6	infssuzex 11490	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
8	2, 7	infclti 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9		elrabi 2806	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	9, 4	eleq2s 2209	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		eluzelre 9238	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	5, 10, 11	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	2, 7	inflbti 6863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < )))
14	5, 13	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < ))
15	8, 12, 14	nltled 7806	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 802   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  {crab 2394   class class class wbr 3895  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  infcinf 6822  ℝcr 7546   < clt 7724   ≤ cle 7725  ℤcz 8958  ℤ_≥cuz 9228  ...cfz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-fzo 9813

This theorem is referenced by:  lcmledvds  11597