Theorem infssuzledc 10616

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
infssuzledc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)

Assertion

Ref	Expression
infssuzledc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzledc

Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8369	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
3		infssuzledc.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		infssuzledc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓}
5		infssuzledc.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		infssuzledc.dc	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
7	3, 4, 5, 6	infssuzex 10615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 < 𝑦)))
8	2, 7	infclti 7327	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9		elrabi 2973	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	9, 4	eleq2s 2329	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11		eluzelre 9882	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	5, 10, 11	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13	2, 7	inflbti 7328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < )))
14	5, 13	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < ))
15	8, 12, 14	nltled 8410	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  infcinf 7287  ℝcr 8142   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499

This theorem is referenced by:  infssfzledc  10619  zsupssdc  10622  bitsfzolem  12665  nnminle  12756  nninfctlemfo  12761  lcmledvds  12792  odzdvds  12968  4sqlem13m  13126  4sqlem17  13130