ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infssuzledc GIF version

Theorem infssuzledc 11945
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infssuzledc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
infssuzledc.s 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
infssuzledc.a (𝜑𝐴𝑆)
infssuzledc.dc ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
Assertion
Ref Expression
infssuzledc (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem infssuzledc
Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 8035 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
21adantl 277 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (𝑎 = 𝑏 ↔ (¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ¬ 𝑏 < 𝑎)))
3 infssuzledc.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 infssuzledc.s . . . 4 𝑆 = {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓}
5 infssuzledc.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
6 infssuzledc.dc . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝐴)) → DECID 𝜓)
73, 4, 5, 6infssuzex 11944 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝑆 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝑆 𝑧 < 𝑦)))
82, 7infclti 7021 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9 elrabi 2890 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∣ 𝜓} → 𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
109, 4eleq2s 2272 . . 3 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (ℤ𝑀))
11 eluzelre 9536 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
125, 10, 113syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
132, 7inflbti 7022 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑆 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < )))
145, 13mpd 13 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴 < inf(𝑆, ℝ, < ))
158, 12, 14nltled 8076 1 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  infcinf 6981  cr 7809   < clt 7990  cle 7991  cz 9251  cuz 9526  ...cfz 10006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007  df-fzo 10140
This theorem is referenced by:  zsupssdc  11949  nnminle  12030  lcmledvds  12064  odzdvds  12239
  Copyright terms: Public domain W3C validator