Theorem suplociccex 13243

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 7971 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suplocicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
suplocicc.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
suplocicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
suplocicc.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocicc.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		suplocicc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		suplocicc.bc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
4		suplocicc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5		suplocicc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6		suplocicc.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 13242	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8		simprl 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		eleq1w 2227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑢 ∈ 𝐴))
10	9	cbvexv 1906	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
11	5, 10	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
12	11	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
13	1	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		iccssre 9891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
15	1, 2, 14	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
16	4, 15	sstrd 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	16	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
19	17, 18	sseldd 3143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
20	8	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	13	rexrd 7948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	2	rexrd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	4	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
25	24, 18	sseldd 3143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ (𝐵[,]𝐶))
26		iccgelb 9868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑢)
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑢)
28		breq2 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑢))
29	28	notbid 657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑢))
30		simprrl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
31	30	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
32	29, 31, 18	rspcdva 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 < 𝑢)
33	19, 20, 32	nltled 8019	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ≤ 𝑥)
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 8022	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑥)
35	12, 34	exlimddv 1886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
36		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝜑)
37		simprrr 530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
38	8, 30, 37	3jca 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39		lttri3 7978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
40	39	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
41	40	eqsupti 6961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
43	1	rexrd 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	43	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
46	4	sselda 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶))
47		iccleub 9867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑧 ≤ 𝐶)
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐶)
49	48	ralrimiva 2539	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐶)
50	7, 16, 2	suprleubex 8849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐶))
51	49, 50	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
52	51	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
53	42, 52	eqbrtrrd 4006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
54	8, 35, 53	3jca 1167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
55		elicc2 9874	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
56	1, 2, 55	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
57	56	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
58	54, 57	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
59		ssralv 3206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
61	60	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
62	37, 61	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
63	30, 62	jca 304	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
64	7, 58, 63	reximssdv 2570	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  supcsup 6947  ℝcr 7752  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933   ≤ cle 7934  [,]cicc 9827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-icc 9831  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by:  dedekindicclemlub  13247