Theorem suplociccex 15817

Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals in a closed interval has a supremum. A similar theorem is axsuploc 8399 but that one is for the entire real line rather than a closed interval. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suplocicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
suplocicc.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
suplocicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
suplocicc.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocicc.l	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplociccex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplociccex

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocicc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		suplocicc.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		suplocicc.bc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
4		suplocicc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5		suplocicc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6		suplocicc.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑥 < 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	suplociccreex 15816	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
8		simprl 535	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		eleq1w 2299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑢 ∈ 𝐴))
10	9	cbvexv 1974	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
11	5, 10	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
12	11	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∃𝑢 𝑢 ∈ 𝐴)
13	1	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		iccssre 10368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
15	1, 2, 14	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
16	4, 15	sstrd 3258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	16	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐴)
19	17, 18	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ ℝ)
20	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	13	rexrd 8376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	2	rexrd 8376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	4	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
25	24, 18	sseldd 3249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ∈ (𝐵[,]𝐶))
26		iccgelb 10345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑢)
27	21, 23, 25, 26	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑢)
28		breq2 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑢))
29	28	notbid 677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑢))
30		simprrl 545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
32	29, 31, 18	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 < 𝑢)
33	19, 20, 32	nltled 8449	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝑢 ≤ 𝑥)
34	13, 19, 20, 27, 33	letrd 8452	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) ∧ 𝑢 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑥)
35	12, 34	exlimddv 1954	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
36		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝜑)
37		simprrr 546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
38	8, 30, 37	3jca 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
39		lttri3 8406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
41	40	eqsupti 7337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
42	36, 38, 41	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
43	1	rexrd 8376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
46	4	sselda 3248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶))
47		iccleub 10344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑧 ≤ 𝐶)
48	44, 45, 46, 47	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐶)
49	48	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐶)
50	7, 16, 2	suprleubex 9287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐶))
51	49, 50	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
52	51	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐶)
53	42, 52	eqbrtrrd 4154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
54	8, 35, 53	3jca 1208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶))
55		elicc2 10351	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
56	1, 2, 55	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
57	56	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐶)))
58	54, 57	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
59		ssralv 3312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
60	15, 59	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
61	60	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
62	37, 61	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
63	30, 62	jca 306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
64	7, 58, 63	reximssdv 2654	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐵[,]𝐶)(𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  supcsup 7323  ℝcr 8179  ℝ^*cxr 8360   < clt 8361   ≤ cle 8362  [,]cicc 10304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-icc 10308  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781

This theorem is used by:  dedekindicclemlub  15821