Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refeq GIF version

Theorem refeq 14746
Description: Equality of two real functions which agree at negative numbers, positive numbers, and zero. This holds even without real trichotomy. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
refeq.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
refeq.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
refeq.lt0 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘₯ < 0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
refeq.gt0 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (0 < π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
refeq.0 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0))
Assertion
Ref Expression
refeq (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem refeq
StepHypRef Expression
1 refeq.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21ffnd 5366 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
3 refeq.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
43ffnd 5366 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
5 refeq.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0))
65ad2antrr 488 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜0) = (πΊβ€˜0))
7 simplr 528 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 0red 7957 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ 0 ∈ ℝ)
9 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯))
101ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1110recnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
133ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1413recnd 7985 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
16 apne 8579 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΊβ€˜π‘₯)))
1712, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΊβ€˜π‘₯)))
189, 17mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  (πΊβ€˜π‘₯))
1918neneqd 2368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
20 refeq.gt0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (0 < π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
2120r19.21bi 2565 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 < π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
2221adantr 276 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (0 < π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
2319, 22mtod 663 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ Β¬ 0 < π‘₯)
247, 8, 23nltled 8077 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ≀ 0)
25 refeq.lt0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘₯ < 0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
2625r19.21bi 2565 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < 0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
2726adantr 276 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘₯ < 0 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)))
2819, 27mtod 663 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ Β¬ π‘₯ < 0)
298, 7, 28nltled 8077 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
307, 8letri3d 8072 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘₯ = 0 ↔ (π‘₯ ≀ 0 ∧ 0 ≀ π‘₯)))
3124, 29, 30mpbir2and 944 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ = 0)
3231fveq2d 5519 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜0))
3331fveq2d 5519 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜0))
346, 32, 333eqtr4d 2220 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
3534, 19pm2.65da 661 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯))
36 apti 8578 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)))
3711, 14, 36syl2anc 411 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) # (πΊβ€˜π‘₯)))
3835, 37mpbird 167 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
392, 4, 38eqfnfvd 5616 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  βˆ€wral 2455   class class class wbr 4003  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  β„‚cc 7808  β„cr 7809  0cc0 7810   < clt 7991   ≀ cle 7992   # cap 8537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator