Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  refeq GIF version

Theorem refeq 13396
 Description: Equality of two real functions which agree at negative numbers, positive numbers, and zero. This holds even without real trichotomy. From an online post by Martin Escardo. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
refeq.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
refeq.g (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
refeq.lt0 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 0 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
refeq.gt0 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
refeq.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
Assertion
Ref Expression
refeq (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem refeq
StepHypRef Expression
1 refeq.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21ffnd 5280 . 2 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
3 refeq.g . . 3 (𝜑𝐺:ℝ⟶ℝ)
43ffnd 5280 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
5 refeq.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
65ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
7 simplr 520 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 0red 7790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
9 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥))
101ffvelrnda 5562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1110recnd 7817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1211adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
133ffvelrnda 5562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
1413recnd 7817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
16 apne 8408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑥) # (𝐺𝑥) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐺𝑥)))
1712, 15, 16syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → ((𝐹𝑥) # (𝐺𝑥) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐺𝑥)))
189, 17mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐺𝑥))
1918neneqd 2330 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
20 refeq.gt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2120r19.21bi 2523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (0 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2221adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (0 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2319, 22mtod 653 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → ¬ 0 < 𝑥)
247, 8, 23nltled 7906 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → 𝑥 ≤ 0)
25 refeq.lt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 0 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2625r19.21bi 2523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2726adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝑥 < 0 → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2819, 27mtod 653 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → ¬ 𝑥 < 0)
298, 7, 28nltled 7906 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
307, 8letri3d 7902 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑥 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
3124, 29, 30mpbir2and 929 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → 𝑥 = 0)
3231fveq2d 5432 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
3331fveq2d 5432 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘0))
346, 32, 333eqtr4d 2183 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3534, 19pm2.65da 651 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥))
36 apti 8407 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)))
3711, 14, 36syl2anc 409 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) # (𝐺𝑥)))
3835, 37mpbird 166 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
392, 4, 38eqfnfvd 5528 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∀wral 2417   class class class wbr 3936  ⟶wf 5126  ‘cfv 5130  ℂcc 7641  ℝcr 7642  0cc0 7643   < clt 7823   ≤ cle 7824   # cap 8366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator