Theorem cvgratz 12009

Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio 𝐴 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 is less than 1 for all terms, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgratz.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cvgratz.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
cvgratz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cvgratz.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
cvgratz.gt0	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratz.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
cvgratz.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
cvgratz	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratz

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvgratz.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fveq2 5603	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
4	3	eleq1d 2278	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ))
5		cvgratz.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
6	5	ralrimiva 2583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7	6	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
8		cvgratz.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	8	eleq2i 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10	9	biimpri 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
11	10	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ 𝑍)
12	4, 7, 11	rspcdva 2892	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
13		eluzelz 9699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
15		1red 8129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
16	1	zred 9537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
18	14	zred 9537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
19		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ 𝑀)
20		eluzle 9702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
22	15, 17, 18, 19, 21	letrd 8238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 1 ≤ 𝑘)
23		elnnz1 9437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
24	14, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
25		elnnuz 9727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
26		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
27	26	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
28		uzid 9704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	1, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30	29, 8	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
31	27, 6, 30	rspcdva 2892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
32	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
33		cvgratz.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
34		cvgratz.gt0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
35	33, 34	elrpd 9857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
36	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ+)
37	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
39	25	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	40	nnzd 9536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
43	38, 42	zsubcld 9542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑀 − 𝑘) ∈ ℤ)
44	36, 43	rpexpcld 10886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) ∈ ℝ+)
45	44	rpcnd 9862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) ∈ ℂ)
46	44	rpap0d 9866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) # 0)
47	32, 45, 46	divclapd 8905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))) ∈ ℂ)
48		simplll 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝜑)
49	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
50	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
51	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
52	50	zred 9537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
54	51, 52, 53	nltled 8235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑘)
55		eluz2 9696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘))
56	49, 50, 54, 55	syl3anbrc 1186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
57	56, 8	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
58	48, 57, 5	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
59		zdclt 9492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 < 𝑀)
60	41, 37, 59	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑘 < 𝑀)
61	47, 58, 60	ifcldadc 3612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
62	25, 61	sylan2b 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
63	24, 62	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
64		breq1 4065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 < 𝑀 ↔ 𝑘 < 𝑀))
65		oveq2 5982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑀 − 𝑖) = (𝑀 − 𝑘))
66	65	oveq2d 5990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 − 𝑖)) = (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)))
67	66	oveq2d 5990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))) = ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))))
68		fveq2 5603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘𝑘))
69	64, 67, 68	ifbieq12d 3609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))
70		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))
71	69, 70	fvmptg 5683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))
72	24, 63, 71	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))
73	17, 18, 21	lensymd 8236	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
74	73	iffalsed 3592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
75	72, 74	eqtr2d 2243	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘))
76		addcl 8092	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
77	76	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
78	2, 12, 75, 77	seq3feq 10669	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))))
79	33	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
80		cvgratz.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
81	80	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝐴 < 1)
82	34	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝐴)
83	71	eleq1d 2278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ ↔ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ))
84	40, 61, 83	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ ↔ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ))
85	61, 84	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ)
86	25, 85	sylan2b 287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ)
87	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
88	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ+)
89	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
90	25, 41	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
91	90	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	91	peano2zd 9540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
93	89, 92	zsubcld 9542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑀 − (𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
94	88, 93	rpexpcld 10886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
95	94	rpcnd 9862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
96	94	rpap0d 9866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) # 0)
97	87, 95, 96	divclapd 8905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
98		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
99	98	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
100		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑎))
101	100	eleq1d 2278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ))
102	101	cbvralv 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
103	6, 102	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
104	103	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ∀𝑎 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑎) ∈ ℂ)
105	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
106		peano2nn 9090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
108	107	nnzd 9536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
110	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
111	107	nnred 9091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
112	111	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
113		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀)
114	110, 112, 113	nltled 8235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
115		eluz2 9696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
116	105, 109, 114, 115	syl3anbrc 1186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
117	116, 8	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
118	99, 104, 117	rspcdva 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
119	2	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
120		zdclt 9492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID (𝑘 + 1) < 𝑀)
121	108, 119, 120	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → DECID (𝑘 + 1) < 𝑀)
122	97, 118, 121	ifcldadc 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
123	122	abscld 11658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
124	16	recnd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
125	124	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
126		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
127	126	nncnd 9092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
128		1cnd 8130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
129	125, 127, 128	subsub4d 8456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 𝑘) − 1) = (𝑀 − (𝑘 + 1)))
130	129	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑀 − 𝑘) − 1)) = (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))))
131	33	recnd 8143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
132	131	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
133	33, 34	gt0ap0d 8744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
134	133	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 # 0)
135	119, 90	zsubcld 9542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 − 𝑘) ∈ ℤ)
136	132, 134, 135	expm1apd 10872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑀 − 𝑘) − 1)) = ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴))
137	130, 136	eqtr3d 2244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴))
138	137	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))) = ((𝐹‘𝑀) / ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴)))
139	138	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))) = ((𝐹‘𝑀) / ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴)))
140		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) < 𝑀)
141	140	iftrued 3589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))))
142	126	nnred 9091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
143	142	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
144		peano2re 8250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
145	143, 144	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
146	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
147	143	ltp1d 9045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
148	143, 145, 146, 147, 140	lttrd 8240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
149	148	iftrued 3589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))))
150	149	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))) = (𝐴 · ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)))))
151	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
152	132, 134, 135	expclzapd 10867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) ∈ ℂ)
153	132, 134, 135	expap0d 10868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) # 0)
154	151, 152, 132, 153, 134	divdivap2d 8938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑀) / ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴)) = (((𝐹‘𝑀) · 𝐴) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))))
155	151, 132	mulcomd 8136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑀) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐹‘𝑀)))
156	155	oveq1d 5989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑀) · 𝐴) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑀)) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))))
157	132, 151, 152, 153	divassapd 8941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑀)) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))) = (𝐴 · ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)))))
158	154, 156, 157	3eqtrd 2246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑀) / ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴)) = (𝐴 · ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)))))
159	158	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) / ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴)) = (𝐴 · ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)))))
160	150, 159	eqtr4d 2245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑀) / ((𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) / 𝐴)))
161	139, 141, 160	3eqtr4d 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))))
162	161	fveq2d 5607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
163	132, 62	absmuld 11671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
164	163	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
165	35	rpge0d 9864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
166	33, 165	absidd 11644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
167	166	oveq1d 5989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
168	167	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
169	162, 164, 168	3eqtrd 2246	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
170		eqle 8206	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))))) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
171	123, 169, 170	syl2an2r 597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
172	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
173	111, 172	lttri3d 8229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) = 𝑀 ↔ (¬ (𝑘 + 1) < 𝑀 ∧ ¬ 𝑀 < (𝑘 + 1))))
174	173	simprbda 383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀)
175	174	iffalsed 3592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
176		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝑘 + 1) = 𝑀)
177	176	fveq2d 5607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘𝑀))
178	175, 177	eqtrd 2242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐹‘𝑀))
179	178	fveq2d 5607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (abs‘(𝐹‘𝑀)))
180	142	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
181	180	ltp1d 9045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
182		breq2 4066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 + 1) = 𝑀 → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 < 𝑀))
183	182	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 < 𝑀))
184	181, 183	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
185	184	iftrued 3589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))))
186	176	oveq1d 5989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = (𝑀 − 𝑘))
187	127	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
188		1cnd 8130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
189	187, 188	pncan2d 8427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
190	186, 189	eqtr3d 2244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 𝑘) = 1)
191	190	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) = (𝐴↑1))
192	132	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
193	192	exp1d 10857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴↑1) = 𝐴)
194	191, 193	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑘)) = 𝐴)
195	194	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))) = ((𝐹‘𝑀) / 𝐴))
196	185, 195	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑀) / 𝐴))
197	196	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))) = (𝐴 · ((𝐹‘𝑀) / 𝐴)))
198	31, 131, 133	divcanap2d 8907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝐹‘𝑀) / 𝐴)) = (𝐹‘𝑀))
199	198	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴 · ((𝐹‘𝑀) / 𝐴)) = (𝐹‘𝑀))
200	197, 199	eqtrd 2242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))) = (𝐹‘𝑀))
201	200	fveq2d 5607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = (abs‘(𝐹‘𝑀)))
202	167	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
203	163, 202	eqtrd 2242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
204	203	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
205	179, 201, 204	3eqtr2d 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
206	123, 205, 170	syl2an2r 597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
207		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝜑)
208	119	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
209	90	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
210		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1))
211		zleltp1 9470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
212	119, 209, 211	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
213	210, 212	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
214	208, 209, 213, 55	syl3anbrc 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
215	214, 8	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
216		cvgratz.7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
217	207, 215, 216	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
218	172	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
219	111	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
220	218, 219, 210	ltnsymd 8234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀)
221	220	iffalsed 3592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
222	221	fveq2d 5607	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
223	142	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
224	218, 223, 213	lensymd 8236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
225	224	iffalsed 3592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
226	225	fveq2d 5607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
227	226	oveq2d 5990	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
228	217, 222, 227	3brtr4d 4094	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
229		ztri3or 9457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ∨ (𝑘 + 1) = 𝑀 ∨ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
230	108, 119, 229	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ∨ (𝑘 + 1) = 𝑀 ∨ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
231	171, 206, 228, 230	mpjao3dan 1322	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
232		breq1 4065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑘 + 1) < 𝑀))
233		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑀 − 𝑖) = (𝑀 − (𝑘 + 1)))
234	233	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 − 𝑖)) = (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))))
235	234	oveq2d 5990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))) = ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))))
236		fveq2 5603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
237	232, 235, 236	ifbieq12d 3609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)) = if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))))
238	237, 70	fvmptg 5683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))))
239	107, 122, 238	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))))
240	239	fveq2d 5607	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘(𝑘 + 1))) = (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
241	126, 62, 71	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))
242	241	fveq2d 5607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘)) = (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘))))
243	242	oveq2d 5990	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑘))), (𝐹‘𝑘)))))
244	231, 240, 243	3brtr4d 4094	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))‘𝑘))))
245	79, 81, 82, 86, 244	cvgratnn 12008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq1( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
246		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
247		1zzd 9441	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
248		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
249		eluz2 9696	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀))
250	247, 2, 248, 249	syl3anbrc 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
251	246, 250, 85	iserex 11816	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → (seq1( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))) ∈ dom ⇝ ))
252	245, 251	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq𝑀( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹‘𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − 𝑖))), (𝐹‘𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
253	78, 252	eqeltrd 2286	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
254	33	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
255	80	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 𝐴 < 1)
256	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 0 < 𝐴)
257	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
258	257	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
259		nnz 9433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
260	259	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
261	258	zred 9537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
262		1red 8129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
263	260	zred 9537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
264		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ 1)
265		nnge1 9101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
266	265	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
267	261, 262, 263, 264, 266	letrd 8238	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ 𝑘)
268	258, 260, 267, 55	syl3anbrc 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
269	8	eleq2i 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
270	269, 5	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
271	270	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
272	268, 271	syldan 282	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
273	269, 216	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
274	273	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
275	268, 274	syldan 282	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
276	254, 255, 256, 272, 275	cvgratnn 12008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
277		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
278		1zzd 9441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 1 ∈ ℤ)
279		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1)
280		eluz2 9696	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 1))
281	257, 278, 279, 280	syl3anbrc 1186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → 1 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
282	277, 281, 271	iserex 11816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
283	276, 282	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ≤ 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
284		1z 9440	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
285		zletric 9458	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 1))
286	284, 1, 285	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ∨ 𝑀 ≤ 1))
287	253, 283, 286	mpjaodan 802	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 712  DECID wdc 838   ∨ w3o 982   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ifcif 3582   class class class wbr 4062   ↦ cmpt 4124  dom cdm 4696  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972   < clt 8149   ≤ cle 8150   − cmin 8285   # cap 8696   / cdiv 8787  ℕcn 9078  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  ℝ⁺crp 9817  seqcseq 10636  ↑cexp 10727  abscabs 11474   ⇝ cli 11755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-ico 10058  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831

This theorem is referenced by:  cvgratgt0  12010