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Theorem cvgratz 11308
Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio 𝐴 of the absolute values of successive terms in an infinite sequence 𝐹 is less than 1 for all terms, then the infinite sum of the terms of 𝐹 converges to a complex number. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratz.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
cvgratz.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
cvgratz.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cvgratz.4 (𝜑𝐴 < 1)
cvgratz.gt0 (𝜑 → 0 < 𝐴)
cvgratz.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
cvgratz.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
Assertion
Ref Expression
cvgratz (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘

Proof of Theorem cvgratz
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgratz.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
43eleq1d 2208 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑥) ∈ ℂ))
5 cvgratz.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
65ralrimiva 2505 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
76ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
8 cvgratz.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
98eleq2i 2206 . . . . . . 7 (𝑥𝑍𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
109biimpri 132 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥𝑍)
1110adantl 275 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥𝑍)
124, 7, 11rspcdva 2794 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
13 eluzelz 9342 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
1413adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
15 1red 7788 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
161zred 9180 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1716ad2antrr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1814zred 9180 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 simplr 519 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ 𝑀)
20 eluzle 9345 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑘)
2120adantl 275 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑘)
2215, 17, 18, 19, 21letrd 7893 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ≤ 𝑘)
23 elnnz1 9084 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘))
2414, 22, 23sylanbrc 413 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
25 elnnuz 9369 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
26 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2726eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℂ))
28 uzid 9347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
291, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3029, 8eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀𝑍)
3127, 6, 30rspcdva 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
3231ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
33 cvgratz.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
34 cvgratz.gt0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3533, 34elrpd 9488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3635ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ+)
372adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3837adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3925biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4140nnzd 9179 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4241adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
4338, 42zsubcld 9185 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑀𝑘) ∈ ℤ)
4436, 43rpexpcld 10455 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀𝑘)) ∈ ℝ+)
4544rpcnd 9492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀𝑘)) ∈ ℂ)
4644rpap0d 9496 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀𝑘)) # 0)
4732, 45, 46divclapd 8557 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))) ∈ ℂ)
48 simplll 522 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝜑)
4937adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5041adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5116ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
5250zred 9180 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
5451, 52, 53nltled 7890 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑀𝑘)
55 eluz2 9339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑘))
5649, 50, 54, 55syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5756, 8eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘𝑍)
5848, 57, 5syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 < 𝑀) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
59 zdclt 9135 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 < 𝑀)
6041, 37, 59syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑘 < 𝑀)
6147, 58, 60ifcldadc 3501 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
6225, 61sylan2b 285 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
6324, 62syldan 280 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
64 breq1 3932 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀))
65 oveq2 5782 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑀𝑖) = (𝑀𝑘))
6665oveq2d 5790 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀𝑖)) = (𝐴↑(𝑀𝑘)))
6766oveq2d 5790 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))) = ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))))
68 fveq2 5421 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
6964, 67, 68ifbieq12d 3498 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))
70 eqid 2139 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))
7169, 70fvmptg 5497 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))
7224, 63, 71syl2anc 408 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))
7317, 18, 21lensymd 7891 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
7473iffalsed 3484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
7572, 74eqtr2d 2173 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘))
76 addcl 7752 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
7776adantl 275 . . . 4 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
782, 12, 75, 77seq3feq 10252 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))))
7933adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
80 cvgratz.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
8180adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝐴 < 1)
8234adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 0 < 𝐴)
8371eleq1d 2208 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ ↔ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) ∈ ℂ))
8440, 61, 83syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ ↔ if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) ∈ ℂ))
8561, 84mpbird 166 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ)
8625, 85sylan2b 285 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘) ∈ ℂ)
8731ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
8835ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ+)
892ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9025, 41sylan2b 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
9291peano2zd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
9389, 92zsubcld 9185 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑀 − (𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
9488, 93rpexpcld 10455 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) ∈ ℝ+)
9594rpcnd 9492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
9694rpap0d 9496 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) # 0)
9787, 95, 96divclapd 8557 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
98 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
9998eleq1d 2208 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑎) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))
100 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑎 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑎))
101100eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑎 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑎) ∈ ℂ))
102101cbvralv 2654 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑎𝑍 (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
1036, 102sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑎𝑍 (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
104103ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ∀𝑎𝑍 (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
1052ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
106 peano2nn 8739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107106adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
108107nnzd 9179 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
109108adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
11016ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
111107nnred 8740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
112111adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
113 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀)
114110, 112, 113nltled 7890 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))
115 eluz2 9339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
116105, 109, 114, 115syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
117116, 8eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
11899, 104, 117rspcdva 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
1192adantr 274 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
120 zdclt 9135 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID (𝑘 + 1) < 𝑀)
121108, 119, 120syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → DECID (𝑘 + 1) < 𝑀)
12297, 118, 121ifcldadc 3501 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
123122abscld 10960 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
12416recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
125124ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
126 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
127126nncnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
128 1cnd 7789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
129125, 127, 128subsub4d 8111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑀𝑘) − 1) = (𝑀 − (𝑘 + 1)))
130129oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑀𝑘) − 1)) = (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))))
13133recnd 7801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
132131ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13333, 34gt0ap0d 8398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 # 0)
134133ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 # 0)
135119, 90zsubcld 9185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀𝑘) ∈ ℤ)
136132, 134, 135expm1apd 10441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑((𝑀𝑘) − 1)) = ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴))
137130, 136eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴))
138137oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))) = ((𝐹𝑀) / ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴)))
139138adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))) = ((𝐹𝑀) / ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴)))
140 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) < 𝑀)
141140iftrued 3481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))))
142126nnred 8740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
143142adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
144 peano2re 7905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
145143, 144syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
14616ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
147143ltp1d 8695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
148143, 145, 146, 147, 140lttrd 7895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
149148iftrued 3481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))))
150149oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))) = (𝐴 · ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘)))))
15131ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
152132, 134, 135expclzapd 10436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀𝑘)) ∈ ℂ)
153132, 134, 135expap0d 10437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀𝑘)) # 0)
154151, 152, 132, 153, 134divdivap2d 8590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑀) / ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴)) = (((𝐹𝑀) · 𝐴) / (𝐴↑(𝑀𝑘))))
155151, 132mulcomd 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑀) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐹𝑀)))
156155oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑀) · 𝐴) / (𝐴↑(𝑀𝑘))) = ((𝐴 · (𝐹𝑀)) / (𝐴↑(𝑀𝑘))))
157132, 151, 152, 153divassapd 8593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐹𝑀)) / (𝐴↑(𝑀𝑘))) = (𝐴 · ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘)))))
158154, 156, 1573eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑀) / ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴)) = (𝐴 · ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘)))))
159158adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((𝐹𝑀) / ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴)) = (𝐴 · ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘)))))
160150, 159eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))) = ((𝐹𝑀) / ((𝐴↑(𝑀𝑘)) / 𝐴)))
161139, 141, 1603eqtr4d 2182 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))))
162161fveq2d 5425 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
163132, 62absmuld 10973 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
164163adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
16535rpge0d 9494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
16633, 165absidd 10946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
167166oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
168167ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
169162, 164, 1683eqtrd 2176 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
170 eqle 7862 . . . . . . . 8 (((abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))))) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
171123, 169, 170syl2an2r 584 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) < 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
17216ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
173111, 172lttri3d 7885 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) = 𝑀 ↔ (¬ (𝑘 + 1) < 𝑀 ∧ ¬ 𝑀 < (𝑘 + 1))))
174173simprbda 380 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀)
175174iffalsed 3484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
176 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝑘 + 1) = 𝑀)
177176fveq2d 5425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹𝑀))
178175, 177eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐹𝑀))
179178fveq2d 5425 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (abs‘(𝐹𝑀)))
180142adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
181180ltp1d 8695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
182 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1) = 𝑀 → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 < 𝑀))
183182adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝑘 < (𝑘 + 1) ↔ 𝑘 < 𝑀))
184181, 183mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
185184iftrued 3481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))))
186176oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = (𝑀𝑘))
187127adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝑘 ∈ ℂ)
188 1cnd 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
189187, 188pncan2d 8082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
190186, 189eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝑀𝑘) = 1)
191190oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴↑(𝑀𝑘)) = (𝐴↑1))
192132adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
193192exp1d 10426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴↑1) = 𝐴)
194191, 193eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴↑(𝑀𝑘)) = 𝐴)
195194oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))) = ((𝐹𝑀) / 𝐴))
196185, 195eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑀) / 𝐴))
197196oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))) = (𝐴 · ((𝐹𝑀) / 𝐴)))
19831, 131, 133divcanap2d 8559 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 · ((𝐹𝑀) / 𝐴)) = (𝐹𝑀))
199198ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴 · ((𝐹𝑀) / 𝐴)) = (𝐹𝑀))
200197, 199eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))) = (𝐹𝑀))
201200fveq2d 5425 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = (abs‘(𝐹𝑀)))
202167ad2antrr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
203163, 202eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
204203adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘(𝐴 · if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
205179, 201, 2043eqtr2d 2178 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
206123, 205, 170syl2an2r 584 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) = 𝑀) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
207 simplll 522 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝜑)
208119adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
20990adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
210 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1))
211 zleltp1 9116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
212119, 209, 211syl2an2r 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (𝑀𝑘𝑀 < (𝑘 + 1)))
213210, 212mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀𝑘)
214208, 209, 213, 55syl3anbrc 1165 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
215214, 8eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘𝑍)
216 cvgratz.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
217207, 215, 216syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
218172adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
219111adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
220218, 219, 210ltnsymd 7889 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → ¬ (𝑘 + 1) < 𝑀)
221220iffalsed 3484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
222221fveq2d 5425 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) = (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))
223142adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
224218, 223, 213lensymd 7891 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → ¬ 𝑘 < 𝑀)
225224iffalsed 3484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
226225fveq2d 5425 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
227226oveq2d 5790 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))) = (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
228217, 222, 2273brtr4d 3960 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 < (𝑘 + 1)) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
229 ztri3or 9104 . . . . . . . 8 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ∨ (𝑘 + 1) = 𝑀𝑀 < (𝑘 + 1)))
230108, 119, 229syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) < 𝑀 ∨ (𝑘 + 1) = 𝑀𝑀 < (𝑘 + 1)))
231171, 206, 228, 230mpjao3dan 1285 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
232 breq1 3932 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 < 𝑀 ↔ (𝑘 + 1) < 𝑀))
233 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑀𝑖) = (𝑀 − (𝑘 + 1)))
234233oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀𝑖)) = (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1))))
235234oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))) = ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))))
236 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
237232, 235, 236ifbieq12d 3498 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑘 + 1) → if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)) = if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))))
238237, 70fvmptg 5497 . . . . . . . 8 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))))
239107, 122, 238syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1))))
240239fveq2d 5425 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘(𝑘 + 1))) = (abs‘if((𝑘 + 1) < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀 − (𝑘 + 1)))), (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
241126, 62, 71syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘) = if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))
242241fveq2d 5425 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘)) = (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘))))
243242oveq2d 5790 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘))) = (𝐴 · (abs‘if(𝑘 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑘))), (𝐹𝑘)))))
244231, 240, 2433brtr4d 3960 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘((𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))‘𝑘))))
24579, 81, 82, 86, 244cvgratnn 11307 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq1( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
246 eqid 2139 . . . . 5 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
247 1zzd 9088 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
248 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 1 ≤ 𝑀)
249 eluz2 9339 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀))
250247, 2, 248, 249syl3anbrc 1165 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
251246, 250, 85iserex 11115 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → (seq1( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))) ∈ dom ⇝ ))
252245, 251mpbid 146 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq𝑀( + , (𝑖 ∈ ℕ ↦ if(𝑖 < 𝑀, ((𝐹𝑀) / (𝐴↑(𝑀𝑖))), (𝐹𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
25378, 252eqeltrd 2216 . 2 ((𝜑 ∧ 1 ≤ 𝑀) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
25433adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
25580adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → 𝐴 < 1)
25634adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → 0 < 𝐴)
2571adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
258257adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
259 nnz 9080 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
260259adantl 275 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
261258zred 9180 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
262 1red 7788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
263260zred 9180 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
264 simplr 519 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ 1)
265 nnge1 8750 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
266265adantl 275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
267261, 262, 263, 264, 266letrd 7893 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑀𝑘)
268258, 260, 267, 55syl3anbrc 1165 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2698eleq2i 2206 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
270269, 5sylan2br 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
271270adantlr 468 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
272268, 271syldan 280 . . . 4 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
273269, 216sylan2br 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
274273adantlr 468 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
275268, 274syldan 280 . . . 4 (((𝜑𝑀 ≤ 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (abs‘(𝐹𝑘))))
276254, 255, 256, 272, 275cvgratnn 11307 . . 3 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
277 eqid 2139 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
278 1zzd 9088 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → 1 ∈ ℤ)
279 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → 𝑀 ≤ 1)
280 eluz2 9339 . . . . 5 (1 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 1))
281257, 278, 279, 280syl3anbrc 1165 . . . 4 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → 1 ∈ (ℤ𝑀))
282277, 281, 271iserex 11115 . . 3 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
283276, 282mpbird 166 . 2 ((𝜑𝑀 ≤ 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
284 1z 9087 . . 3 1 ∈ ℤ
285 zletric 9105 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1))
286284, 1, 285sylancr 410 . 2 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀𝑀 ≤ 1))
287253, 283, 286mpjaodan 787 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  ifcif 3474   class class class wbr 3929  cmpt 3989  dom cdm 4539  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  cn 8727  cz 9061  cuz 9333  +crp 9448  seqcseq 10225  cexp 10299  abscabs 10776  cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by:  cvgratgt0  11309
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