Theorem lenltd 8280

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8014   < clt 8197   ≤ cle 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-cnv 4728  df-xr 8201  df-le 8203

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8282  nltled  8283  lensymd  8284  leadd1  8593  lemul1  8756  leltap  8788  ap0gt0  8803  prodgt0  9015  prodge0  9017  lediv1  9032  lemuldiv  9044  lerec  9047  lt2msq  9049  le2msq  9064  squeeze0  9067  suprleubex  9117  0mnnnnn0  9417  elnn0z  9475  uzm1  9770  infregelbex  9810  fztri3or  10252  fzdisj  10265  uzdisj  10306  nn0disj  10351  fzouzdisj  10395  elfzonelfzo  10453  qdcle  10483  flqeqceilz  10557  modifeq2int  10625  modsumfzodifsn  10635  nn0leexp2  10949  expcanlem  10954  fimaxq  11067  swrdccatin2  11282  resqrexlemoverl  11553  leabs  11606  absle  11621  maxleast  11745  minmax  11762  climge0  11857  pcfac  12894  gsumfzz  13549  cxple  15612  gausslemma2dlem1a  15758