Theorem lenltd 8339

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8256   ≤ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-xr 8260  df-le 8262

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8341  nltled  8342  lensymd  8343  leadd1  8652  lemul1  8815  leltap  8847  ap0gt0  8862  prodgt0  9074  prodge0  9076  lediv1  9091  lemuldiv  9103  lerec  9106  lt2msq  9108  le2msq  9123  squeeze0  9126  suprleubex  9176  0mnnnnn0  9476  elnn0z  9536  uzm1  9831  infregelbex  9876  fztri3or  10319  fzdisj  10332  uzdisj  10373  nn0disj  10418  fzouzdisj  10462  elfzonelfzo  10521  qdcle  10552  flqeqceilz  10626  modifeq2int  10694  modsumfzodifsn  10704  nn0leexp2  11018  expcanlem  11023  fimaxq  11137  swrdccatin2  11359  resqrexlemoverl  11644  leabs  11697  absle  11712  maxleast  11836  minmax  11853  climge0  11948  pcfac  12986  gsumfzz  13641  cxple  15711  gausslemma2dlem1a  15860