ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenltd GIF version

Theorem lenltd 7545
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lenltd (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 lenlt 7505 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 403 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103  wcel 1436   class class class wbr 3820  cr 7293   < clt 7466  cle 7467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-xp 4417  df-cnv 4419  df-xr 7470  df-le 7472
This theorem is referenced by:  ltnsymd  7547  nltled  7548  lensymd  7549  leadd1  7852  lemul1  8011  leltap  8042  ap0gt0  8056  prodgt0  8248  prodge0  8250  lediv1  8265  lemuldiv  8277  lerec  8280  lt2msq  8282  le2msq  8297  squeeze0  8300  suprleubex  8350  0mnnnnn0  8638  elnn0z  8696  uzm1  8981  fztri3or  9385  fzdisj  9398  uzdisj  9437  nn0disj  9477  fzouzdisj  9519  elfzonelfzo  9569  flqeqceilz  9653  modifeq2int  9721  modsumfzodifsn  9731  expcanlem  10021  fimaxq  10132  resqrexlemoverl  10350  leabs  10403  absle  10418  maxleast  10542  minmax  10556  climge0  10607
  Copyright terms: Public domain W3C validator