Theorem lenltd 8225

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ℝcr 7959   < clt 8142   ≤ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-xr 8146  df-le 8148

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8227  nltled  8228  lensymd  8229  leadd1  8538  lemul1  8701  leltap  8733  ap0gt0  8748  prodgt0  8960  prodge0  8962  lediv1  8977  lemuldiv  8989  lerec  8992  lt2msq  8994  le2msq  9009  squeeze0  9012  suprleubex  9062  0mnnnnn0  9362  elnn0z  9420  uzm1  9714  infregelbex  9754  fztri3or  10196  fzdisj  10209  uzdisj  10250  nn0disj  10295  fzouzdisj  10339  elfzonelfzo  10396  qdcle  10426  flqeqceilz  10500  modifeq2int  10568  modsumfzodifsn  10578  nn0leexp2  10892  expcanlem  10897  fimaxq  11009  swrdccatin2  11220  resqrexlemoverl  11447  leabs  11500  absle  11515  maxleast  11639  minmax  11656  climge0  11751  pcfac  12788  gsumfzz  13442  cxple  15504  gausslemma2dlem1a  15650