Theorem lenltd 8190

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8148	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ℝcr 7924   < clt 8107   ≤ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-xr 8111  df-le 8113

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8192  nltled  8193  lensymd  8194  leadd1  8503  lemul1  8666  leltap  8698  ap0gt0  8713  prodgt0  8925  prodge0  8927  lediv1  8942  lemuldiv  8954  lerec  8957  lt2msq  8959  le2msq  8974  squeeze0  8977  suprleubex  9027  0mnnnnn0  9327  elnn0z  9385  uzm1  9679  infregelbex  9719  fztri3or  10161  fzdisj  10174  uzdisj  10215  nn0disj  10260  fzouzdisj  10304  elfzonelfzo  10359  qdcle  10389  flqeqceilz  10463  modifeq2int  10531  modsumfzodifsn  10541  nn0leexp2  10855  expcanlem  10860  fimaxq  10972  resqrexlemoverl  11332  leabs  11385  absle  11400  maxleast  11524  minmax  11541  climge0  11636  pcfac  12673  gsumfzz  13327  cxple  15389  gausslemma2dlem1a  15535