Theorem lenltd 8445

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-xr 8364  df-le 8366

This theorem is used by:  ltnsymd  8447  nltled  8448  lensymd  8449  leadd1  8759  lemul1  8923  leltap  8955  ap0gt0  8970  prodgt0  9184  prodge0  9186  lediv1  9201  lemuldiv  9213  lerec  9216  lt2msq  9218  le2msq  9233  squeeze0  9236  suprleubex  9286  0mnnnnn0  9599  elnn0z  9661  uzm1  9962  infregelbex  10007  fztri3or  10453  fzdisj  10467  uzdisj  10510  nn0disj  10555  fzouzdisj  10599  elfzonelfzo  10658  qdcle  10691  flqeqceilz  10768  modifeq2int  10836  modsumfzodifsn  10846  nn0leexp2  11162  expcanlem  11167  fimaxq  11284  hashf1  11301  swrdccatin2  11515  resqrexlemoverl  11801  leabs  11854  absle  11870  maxleast  11994  minmax  12011  climge0  12107  pcfac  13149  logdivlt  16046  logdivle  16047  cxple  16072  gausslemma2dlem1a  16275