Theorem lenltd 8297

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-xr 8218  df-le 8220

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8299  nltled  8300  lensymd  8301  leadd1  8610  lemul1  8773  leltap  8805  ap0gt0  8820  prodgt0  9032  prodge0  9034  lediv1  9049  lemuldiv  9061  lerec  9064  lt2msq  9066  le2msq  9081  squeeze0  9084  suprleubex  9134  0mnnnnn0  9434  elnn0z  9492  uzm1  9787  infregelbex  9832  fztri3or  10274  fzdisj  10287  uzdisj  10328  nn0disj  10373  fzouzdisj  10417  elfzonelfzo  10476  qdcle  10507  flqeqceilz  10581  modifeq2int  10649  modsumfzodifsn  10659  nn0leexp2  10973  expcanlem  10978  fimaxq  11092  swrdccatin2  11314  resqrexlemoverl  11586  leabs  11639  absle  11654  maxleast  11778  minmax  11795  climge0  11890  pcfac  12928  gsumfzz  13583  cxple  15647  gausslemma2dlem1a  15793