Theorem lenltd 8446

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-xr 8365  df-le 8367

This theorem is used by:  ltnsymd  8448  nltled  8449  lensymd  8450  leadd1  8760  lemul1  8924  leltap  8956  ap0gt0  8971  prodgt0  9185  prodge0  9187  lediv1  9202  lemuldiv  9214  lerec  9217  lt2msq  9219  le2msq  9234  squeeze0  9237  suprleubex  9287  0mnnnnn0  9600  elnn0z  9662  uzm1  9963  infregelbex  10008  fztri3or  10454  fzdisj  10468  uzdisj  10511  nn0disj  10556  fzouzdisj  10600  elfzonelfzo  10659  qdcle  10692  flqeqceilz  10770  modifeq2int  10838  modsumfzodifsn  10848  nn0leexp2  11164  expcanlem  11169  fimaxq  11286  hashf1  11303  swrdccatin2  11517  resqrexlemoverl  11803  leabs  11856  absle  11872  maxleast  11996  minmax  12014  climge0  12110  pcfac  13152  logdivlt  16088  logdivle  16089  cxple  16114  gausslemma2dlem1a  16343