Theorem lenltd 8434

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lenltd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lenlt 8391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168   < clt 8350   ≤ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-xr 8354  df-le 8356

This theorem is referenced by:  ltnsymd  8436  nltled  8437  lensymd  8438  leadd1  8748  lemul1  8911  leltap  8943  ap0gt0  8958  prodgt0  9172  prodge0  9174  lediv1  9189  lemuldiv  9201  lerec  9204  lt2msq  9206  le2msq  9221  squeeze0  9224  suprleubex  9274  0mnnnnn0  9574  elnn0z  9636  uzm1  9932  infregelbex  9977  fztri3or  10422  fzdisj  10435  uzdisj  10478  nn0disj  10523  fzouzdisj  10567  elfzonelfzo  10626  qdcle  10659  flqeqceilz  10733  modifeq2int  10801  modsumfzodifsn  10811  nn0leexp2  11126  expcanlem  11131  fimaxq  11248  hashf1  11265  swrdccatin2  11479  resqrexlemoverl  11765  leabs  11818  absle  11833  maxleast  11957  minmax  11974  climge0  12069  pcfac  13107  cxple  15942  gausslemma2dlem1a  16091