ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdslegcd GIF version

Theorem dvdslegcd 11664
Description: An integer which divides both operands of the gcd operator is bounded by it. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdslegcd (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem dvdslegcd
Dummy variables 𝑛 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1020 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21zred 9185 . . . 4 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3 simpll2 1021 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simpll3 1022 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 simplr 519 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
6 lttri3 7856 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
76adantl 275 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
8 zssre 9073 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
9 gcdsupex 11657 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}𝑦 < 𝑧)))
10 ssrexv 3162 . . . . . . 7 (ℤ ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}𝑦 < 𝑧))))
118, 9, 10mpsyl 65 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}𝑦 < 𝑧)))
127, 11supclti 6885 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
133, 4, 5, 12syl21anc 1215 . . . 4 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → (𝐾𝑀𝐾𝑁))
15 breq1 3932 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛𝑀𝐾𝑀))
16 breq1 3932 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛𝑁𝐾𝑁))
1715, 16anbi12d 464 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝐾𝑁)))
1817elrab3 2841 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ↔ (𝐾𝑀𝐾𝑁)))
191, 18syl 14 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ↔ (𝐾𝑀𝐾𝑁)))
2014, 19mpbird 166 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)})
217, 11supubti 6886 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} → ¬ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) < 𝐾))
223, 4, 5, 21syl21anc 1215 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} → ¬ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) < 𝐾))
2320, 22mpd 13 . . . 4 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → ¬ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) < 𝐾)
242, 13, 23nltled 7895 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
25 gcdn0val 11661 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
263, 4, 5, 25syl21anc 1215 . . 3 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
2724, 26breqtrrd 3956 . 2 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝐾𝑀𝐾𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
2827ex 114 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  {crab 2420  wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  supcsup 6869  cr 7631  0cc0 7632   < clt 7812  cle 7813  cz 9066  cdvds 11504   gcd cgcd 11646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505  df-gcd 11647
This theorem is referenced by:  nndvdslegcd  11665  gcd0id  11678  gcdneg  11681  gcdaddm  11683  gcdzeq  11721  rpdvds  11791  coprm  11833  phimullem  11912
  Copyright terms: Public domain W3C validator