Theorem rabexg 4186

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3277	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4182	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  {crab 2487  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rab 2492  df-v 2773  df-in 3171  df-ss 3178

This theorem is referenced by:  rabex  4187  rabexd  4188  exmidsssnc  4246  exse  4382  frind  4398  elfvmptrab1  5673  elovmporab  6145  elovmporab1w  6146  mpoxopoveq  6325  diffitest  6983  supex2g  7134  cc4f  7380  omctfn  12756  ismhm  13235  mhmex  13236  issubm  13246  issubg  13451  subgex  13454  isnsg  13480  isrim0  13865  issubrng  13903  issubrg  13925  rrgval  13966  lssex  14058  lsssetm  14060  psrval  14370  psrplusgg  14382  psraddcl  14384  epttop  14504  cldval  14513  neif  14555  neival  14557  cnfval  14608  cnovex  14610  cnpval  14612  hmeofn  14716  hmeofvalg  14717  ispsmet  14737  ismet  14758  isxmet  14759  blvalps  14802  blval  14803  cncfval  14986