Theorem rabexg 4231

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3310	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4226	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2802  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  rabex  4232  rabexd  4233  exmidsssnc  4291  exse  4431  frind  4447  elfvmptrab1  5737  elovmporab  6217  elovmporab1w  6218  mpoxopoveq  6401  diffitest  7069  supex2g  7223  cc4f  7478  omctfn  13054  ismhm  13534  mhmex  13535  issubm  13545  issubg  13750  subgex  13753  isnsg  13779  isrim0  14165  issubrng  14203  issubrg  14225  rrgval  14266  lssex  14358  lsssetm  14360  psrval  14670  psrplusgg  14682  psraddcl  14684  epttop  14804  cldval  14813  neif  14855  neival  14857  cnfval  14908  cnovex  14910  cnpval  14912  hmeofn  15016  hmeofvalg  15017  ispsmet  15037  ismet  15058  isxmet  15059  blvalps  15102  blval  15103  cncfval  15286  clwwlkg  16188  clwwlknon  16224