Theorem rabexg 4172

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3264	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4168	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  {crab 2476  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  rabex  4173  rabexd  4174  exmidsssnc  4232  exse  4367  frind  4383  elfvmptrab1  5652  elovmporab  6118  elovmporab1w  6119  mpoxopoveq  6293  diffitest  6943  supex2g  7092  cc4f  7329  omctfn  12600  ismhm  13033  mhmex  13034  issubm  13044  issubg  13243  subgex  13246  isnsg  13272  isrim0  13657  issubrng  13695  issubrg  13717  rrgval  13758  lssex  13850  lsssetm  13852  psrval  14152  psrplusgg  14162  psraddcl  14164  epttop  14258  cldval  14267  neif  14309  neival  14311  cnfval  14362  cnovex  14364  cnpval  14366  hmeofn  14470  hmeofvalg  14471  ispsmet  14491  ismet  14512  isxmet  14513  blvalps  14556  blval  14557  cncfval  14727