Theorem rabexg 4227

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3309	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4223	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  rabex  4228  rabexd  4229  exmidsssnc  4287  exse  4427  frind  4443  elfvmptrab1  5731  elovmporab  6211  elovmporab1w  6212  mpoxopoveq  6392  diffitest  7057  supex2g  7211  cc4f  7466  omctfn  13029  ismhm  13509  mhmex  13510  issubm  13520  issubg  13725  subgex  13728  isnsg  13754  isrim0  14140  issubrng  14178  issubrg  14200  rrgval  14241  lssex  14333  lsssetm  14335  psrval  14645  psrplusgg  14657  psraddcl  14659  epttop  14779  cldval  14788  neif  14830  neival  14832  cnfval  14883  cnovex  14885  cnpval  14887  hmeofn  14991  hmeofvalg  14992  ispsmet  15012  ismet  15033  isxmet  15034  blvalps  15077  blval  15078  cncfval  15261  clwwlkg  16131