Theorem rabexg 4177

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3269	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4173	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  rabex  4178  rabexd  4179  exmidsssnc  4237  exse  4372  frind  4388  elfvmptrab1  5659  elovmporab  6127  elovmporab1w  6128  mpoxopoveq  6307  diffitest  6957  supex2g  7108  cc4f  7354  omctfn  12687  ismhm  13165  mhmex  13166  issubm  13176  issubg  13381  subgex  13384  isnsg  13410  isrim0  13795  issubrng  13833  issubrg  13855  rrgval  13896  lssex  13988  lsssetm  13990  psrval  14300  psrplusgg  14312  psraddcl  14314  epttop  14434  cldval  14443  neif  14485  neival  14487  cnfval  14538  cnovex  14540  cnpval  14542  hmeofn  14646  hmeofvalg  14647  ispsmet  14667  ismet  14688  isxmet  14689  blvalps  14732  blval  14733  cncfval  14916