Theorem rabexg 4279

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3333	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4272	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 428	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  rabex  4280  rabexd  4281  exmidsssnc  4340  exse  4481  frind  4497  elfvmptrab1  5801  elovmporab  6289  elovmporab1w  6290  suppval  6477  mpoxopoveq  6511  diffitest  7191  supex2g  7373  cc4f  7635  omctfn  13334  ismhm  13768  mhmex  13769  issubm  13779  issubg  13976  subgex  13979  isnsg  14005  isrim0  14468  issubrng  14507  issubrg  14529  rrgval  14570  lssex  14691  lsssetm  14693  psrval  15050  psrplusgg  15069  psraddcl  15071  epttop  15191  cldval  15200  neif  15242  neival  15244  cnfval  15295  cnovex  15297  cnpval  15299  hmeofn  15403  hmeofvalg  15404  ispsmet  15424  ismet  15445  isxmet  15446  blvalps  15489  blval  15490  cncfval  15673  clwwlkg  16634  clwwlknon  16670