Theorem rabexg 4279

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3333	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4272	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 428	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  rabex  4280  rabexd  4281  exmidsssnc  4340  exse  4481  frind  4497  elfvmptrab1  5801  elovmporab  6289  elovmporab1w  6290  suppval  6477  mpoxopoveq  6511  diffitest  7191  supex2g  7374  cc4f  7636  omctfn  13386  ismhm  13821  mhmex  13822  issubm  13832  issubg  14029  subgex  14032  isnsg  14058  isrim0  14552  issubrng  14591  issubrg  14613  rrgval  14654  lssex  14775  lsssetm  14777  psrval  15134  psrplusgg  15154  psraddcl  15156  epttop  15282  cldval  15291  neif  15333  neival  15335  cnfval  15386  cnovex  15388  cnpval  15390  hmeofn  15494  hmeofvalg  15495  ispsmet  15515  ismet  15536  isxmet  15537  blvalps  15580  blval  15581  cncfval  15764  clwwlkg  16800  clwwlknon  16836