Theorem rabexg 4177

Description: Separation Scheme in terms of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
rabexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rabexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3269	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		ssexg 4173	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  {crab 2479  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  rabex  4178  rabexd  4179  exmidsssnc  4237  exse  4372  frind  4388  elfvmptrab1  5659  elovmporab  6127  elovmporab1w  6128  mpoxopoveq  6307  diffitest  6957  supex2g  7108  cc4f  7352  omctfn  12685  ismhm  13163  mhmex  13164  issubm  13174  issubg  13379  subgex  13382  isnsg  13408  isrim0  13793  issubrng  13831  issubrg  13853  rrgval  13894  lssex  13986  lsssetm  13988  psrval  14296  psrplusgg  14306  psraddcl  14308  epttop  14410  cldval  14419  neif  14461  neival  14463  cnfval  14514  cnovex  14516  cnpval  14518  hmeofn  14622  hmeofvalg  14623  ispsmet  14643  ismet  14664  isxmet  14665  blvalps  14708  blval  14709  cncfval  14892