Theorem omctfn 12603

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	⊢ (𝜑 → CCHOICE)
omiunct.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
omctfn	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 ⊢ (𝜑 → CCHOICE)
2		fnmap 6711	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
3		omiunct.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
4		omex 4626	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
5		focdmex 6169	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
8	3, 7	exlimddv 1910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
9	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ω ∈ V)
10		fnovex 5952	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1353	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
12		rabexg 4173	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
14	13	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
15	4	enref 6821	. . 3 ⊢ ω ≈ ω
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ω)
17		foeq1 5473	. 2 ⊢ (𝑔 = (𝑓‘𝑥) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18		fof 5477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
20		elmapg 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
21	7, 4, 20	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω))
23		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
24	22, 23	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
26	25	eximdv 1891	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
27		df-rex 2478	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
28	26, 27	imbitrrdi 162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
29	3, 28	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
30	29	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7333	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  {crab 2476  Vcvv 2760   class class class wbr 4030  ωcom 4623   × cxp 4658   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  –onto→wfo 5253  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  1_oc1o 6464   ↑_𝑚 cmap 6704   ≈ cen 6794   ⊔ cdju 7098  CCHOICEwacc 7324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-er 6589  df-map 6706  df-en 6797  df-cc 7325

This theorem is referenced by:  omiunct  12604