Theorem omctfn 12402

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	⊢ (𝜑 → CCHOICE)
omiunct.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
omctfn	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 ⊢ (𝜑 → CCHOICE)
2		fnmap 6637	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
3		omiunct.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
4		omex 4578	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
5		fornex 6098	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
7	6	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
8	3, 7	exlimddv 1892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
9	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ω ∈ V)
10		fnovex 5890	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1338	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
12		rabexg 4133	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
14	13	ralrimiva 2544	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
15	4	enref 6747	. . 3 ⊢ ω ≈ ω
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ω)
17		foeq1 5418	. 2 ⊢ (𝑔 = (𝑓‘𝑥) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18		fof 5422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
19	18	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
20		elmapg 6643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
21	7, 4, 20	sylancl 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
22	19, 21	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω))
23		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
24	22, 23	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
25	24	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
26	25	eximdv 1874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
27		df-rex 2455	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
28	26, 27	syl6ibr 161	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
29	3, 28	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
30	29	ralrimiva 2544	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∃wex 1486   ∈ wcel 2142  ∀wral 2449  ∃wrex 2450  {crab 2453  Vcvv 2731   class class class wbr 3990  ωcom 4575   × cxp 4610   Fn wfn 5195  ⟶wf 5196  –onto→wfo 5198  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857  1_oc1o 6392   ↑_𝑚 cmap 6630   ≈ cen 6720   ⊔ cdju 7018  CCHOICEwacc 7228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-er 6517  df-map 6632  df-en 6723  df-cc 7229

This theorem is referenced by:  omiunct  12403