Theorem omctfn 13392

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	⊢ (𝜑 → CCHOICE)
omiunct.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
omctfn	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 ⊢ (𝜑 → CCHOICE)
2		fnmap 6933	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
3		omiunct.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
4		omex 4742	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
5		focdmex 6348	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
8	3, 7	exlimddv 1954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
9	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ω ∈ V)
10		fnovex 6121	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
12		rabexg 4281	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
14	13	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
15	4	enref 7055	. . 3 ⊢ ω ≈ ω
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ω)
17		foeq1 5614	. 2 ⊢ (𝑔 = (𝑓‘𝑥) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18		fof 5618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
20		elmapg 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
21	7, 4, 20	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω))
23		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
24	22, 23	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
26	25	eximdv 1933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
27		df-rex 2534	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
28	26, 27	imbitrrdi 162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
29	3, 28	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
30	29	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7643	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532  Vcvv 2821   class class class wbr 4131  ωcom 4739   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  –onto→wfo 5378  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1_oc1o 6684   ↑_𝑚 cmap 6926   ≈ cen 7024   ⊔ cdju 7383  CCHOICEwacc 7634

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-cc 7635

This theorem is used by:  omiunct  13393