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Theorem omctfn 11967
Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
omiunct.cc (𝜑CCHOICE)
omiunct.g ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
Assertion
Ref Expression
omctfn (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥,𝑔
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omctfn
StepHypRef Expression
1 omiunct.cc . 2 (𝜑CCHOICE)
2 fnmap 6549 . . . . 5 𝑚 Fn (V × V)
3 omiunct.g . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
4 omex 4507 . . . . . . . 8 ω ∈ V
5 fornex 6013 . . . . . . . 8 (ω ∈ V → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
76adantl 275 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
83, 7exlimddv 1870 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
94a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ω ∈ V)
10 fnovex 5804 . . . . 5 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
112, 8, 9, 10mp3an2i 1320 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
12 rabexg 4071 . . . 4 (((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
1311, 12syl 14 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
1413ralrimiva 2505 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
154enref 6659 . . 3 ω ≈ ω
1615a1i 9 . 2 (𝜑 → ω ≈ ω)
17 foeq1 5341 . 2 (𝑔 = (𝑓𝑥) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18 fof 5345 . . . . . . . . . 10 (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
1918adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
20 elmapg 6555 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
217, 4, 20sylancl 409 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
2219, 21mpbird 166 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω))
23 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
2422, 23jca 304 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
2524ex 114 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
2625eximdv 1852 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
27 df-rex 2422 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
2826, 27syl6ibr 161 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
293, 28mpd 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3029ralrimiva 2505 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
311, 14, 16, 17, 30cc4n 7091 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wex 1468  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  {crab 2420  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  ωcom 4504   × cxp 4537   Fn wfn 5118  wf 5119  ontowfo 5121  cfv 5123  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  𝑚 cmap 6542  cen 6632  cdju 6922  CCHOICEwacc 7082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-er 6429  df-map 6544  df-en 6635  df-cc 7083
This theorem is referenced by:  omiunct  11968
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