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Theorem omctfn 12385
Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
omiunct.cc (𝜑CCHOICE)
omiunct.g ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
Assertion
Ref Expression
omctfn (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥,𝑔
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omctfn
StepHypRef Expression
1 omiunct.cc . 2 (𝜑CCHOICE)
2 fnmap 6629 . . . . 5 𝑚 Fn (V × V)
3 omiunct.g . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
4 omex 4575 . . . . . . . 8 ω ∈ V
5 fornex 6091 . . . . . . . 8 (ω ∈ V → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
76adantl 275 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
83, 7exlimddv 1891 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
94a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ω ∈ V)
10 fnovex 5883 . . . . 5 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
112, 8, 9, 10mp3an2i 1337 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
12 rabexg 4130 . . . 4 (((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
1311, 12syl 14 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
1413ralrimiva 2543 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
154enref 6739 . . 3 ω ≈ ω
1615a1i 9 . 2 (𝜑 → ω ≈ ω)
17 foeq1 5414 . 2 (𝑔 = (𝑓𝑥) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18 fof 5418 . . . . . . . . . 10 (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
1918adantl 275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
20 elmapg 6635 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
217, 4, 20sylancl 411 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
2219, 21mpbird 166 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω))
23 simpr 109 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
2422, 23jca 304 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
2524ex 114 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
2625eximdv 1873 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
27 df-rex 2454 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
2826, 27syl6ibr 161 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
293, 28mpd 13 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
3029ralrimiva 2543 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
311, 14, 16, 17, 30cc4n 7220 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wex 1485  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  {crab 2452  Vcvv 2730   class class class wbr 3987  ωcom 4572   × cxp 4607   Fn wfn 5191  wf 5192  ontowfo 5194  cfv 5196  (class class class)co 5850  1oc1o 6385  𝑚 cmap 6622  cen 6712  cdju 7010  CCHOICEwacc 7211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-er 6509  df-map 6624  df-en 6715  df-cc 7212
This theorem is referenced by:  omiunct  12386
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