Theorem omctfn 13194

Description: Using countable choice to find a sequence of enumerations for a collection of countable sets. Lemma 8.1.27 of [AczelRathjen], p. 77. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
omiunct.cc	⊢ (𝜑 → CCHOICE)
omiunct.g	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))

Assertion

Ref	Expression
omctfn	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔   𝜑,𝑓,𝑥,𝑔

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem omctfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omiunct.cc	. 2 ⊢ (𝜑 → CCHOICE)
2		fnmap 6889	. . . . 5 ⊢ ↑𝑚 Fn (V × V)
3		omiunct.g	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
4		omex 4715	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
5		focdmex 6308	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
8	3, 7	exlimddv 1948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V)
9	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ω ∈ V)
10		fnovex 6083	. . . . 5 ⊢ (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ (𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
11	2, 8, 9, 10	mp3an2i 1379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V)
12		rabexg 4255	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∈ V → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
14	13	ralrimiva 2615	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω {𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∣ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)} ∈ V)
15	4	enref 7004	. . 3 ⊢ ω ≈ ω
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ω ≈ ω)
17		foeq1 5586	. 2 ⊢ (𝑔 = (𝑓‘𝑥) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
18		fof 5590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o))
20		elmapg 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊔ 1o) ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
21	7, 4, 20	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ↔ 𝑔:ω⟶(𝐵 ⊔ 1o)))
22	19, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω))
23		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
24	22, 23	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → (𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
26	25	eximdv 1929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))))
27		df-rex 2526	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
28	26, 27	imbitrrdi 162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
29	3, 28	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ω) → ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
30	29	ralrimiva 2615	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑔 ∈ ((𝐵 ⊔ 1o) ↑𝑚 ω)𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
31	1, 14, 16, 17, 30	cc4n 7585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥):ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  {crab 2524  Vcvv 2813   class class class wbr 4109  ωcom 4712   × cxp 4747   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348  –onto→wfo 5350  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1_oc1o 6640   ↑_𝑚 cmap 6882   ≈ cen 6973   ⊔ cdju 7328  CCHOICEwacc 7576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-cc 7577

This theorem is referenced by:  omiunct  13195