Theorem srgdi 14139

Description: Distributive law for the multiplication operation of a semiring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgdi.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgdi	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem srgdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgdi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		srgdi.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		srgdi.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	srgdilem 14134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)) ∧ ((𝑋 + 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑍) + (𝑌 · 𝑍))))
5	4	simpld 112	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) + (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  ._rcmulr 13312  SRingcsrg 14128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-srg 14129

This theorem is referenced by:  srglmhm  14158