![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > srgfcl | GIF version |
Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
srgfcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
srgfcl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
srgfcl | โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ยท :(๐ต ร ๐ต)โถ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simpr 110 | . 2 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) | |
2 | srgfcl.b | . . . . . . . 8 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
3 | srgfcl.t | . . . . . . . 8 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | 2, 3 | srgcl 13158 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ SRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
5 | 4 | 3expb 1204 | . . . . . 6 โข ((๐ โ SRing โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต)) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
6 | 5 | ralrimivva 2559 | . . . . 5 โข (๐ โ SRing โ โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
7 | fveq2 5517 | . . . . . . . 8 โข (๐ = โจ๐, ๐โฉ โ ( ยท โ๐) = ( ยท โโจ๐, ๐โฉ)) | |
8 | 7 | eleq1d 2246 | . . . . . . 7 โข (๐ = โจ๐, ๐โฉ โ (( ยท โ๐) โ ๐ต โ ( ยท โโจ๐, ๐โฉ) โ ๐ต)) |
9 | df-ov 5880 | . . . . . . . . 9 โข (๐ ยท ๐) = ( ยท โโจ๐, ๐โฉ) | |
10 | 9 | eqcomi 2181 | . . . . . . . 8 โข ( ยท โโจ๐, ๐โฉ) = (๐ ยท ๐) |
11 | 10 | eleq1i 2243 | . . . . . . 7 โข (( ยท โโจ๐, ๐โฉ) โ ๐ต โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
12 | 8, 11 | bitrdi 196 | . . . . . 6 โข (๐ = โจ๐, ๐โฉ โ (( ยท โ๐) โ ๐ต โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต)) |
13 | 12 | ralxp 4772 | . . . . 5 โข (โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต โ โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
14 | 6, 13 | sylibr 134 | . . . 4 โข (๐ โ SRing โ โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต) |
15 | 14 | adantr 276 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต) |
16 | fnfvrnss 5678 | . . 3 โข (( ยท Fn (๐ต ร ๐ต) โง โ๐ โ (๐ต ร ๐ต)( ยท โ๐) โ ๐ต) โ ran ยท โ ๐ต) | |
17 | 1, 15, 16 | syl2anc 411 | . 2 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ran ยท โ ๐ต) |
18 | df-f 5222 | . 2 โข ( ยท :(๐ต ร ๐ต)โถ๐ต โ ( ยท Fn (๐ต ร ๐ต) โง ran ยท โ ๐ต)) | |
19 | 1, 17, 18 | sylanbrc 417 | 1 โข ((๐ โ SRing โง ยท Fn (๐ต ร ๐ต)) โ ยท :(๐ต ร ๐ต)โถ๐ต) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 โwral 2455 โ wss 3131 โจcop 3597 ร cxp 4626 ran crn 4629 Fn wfn 5213 โถwf 5214 โcfv 5218 (class class class)co 5877 Basecbs 12464 .rcmulr 12539 SRingcsrg 13151 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-addcom 7913 ax-addass 7915 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-ltxr 7999 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-ndx 12467 df-slot 12468 df-base 12470 df-sets 12471 df-plusg 12551 df-mulr 12552 df-0g 12712 df-mgm 12780 df-sgrp 12813 df-mnd 12823 df-mgp 13136 df-srg 13152 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |