Theorem srgfcl 13985

Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgfcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgfcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgfcl	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem srgfcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · Fn (𝐵 × 𝐵))
2		srgfcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		srgfcl.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	2, 3	srgcl 13982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
5	4	3expb 1230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
6	5	ralrimivva 2614	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
7		fveq2 5639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → ( · ‘𝑐) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
8	7	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵))
9		df-ov 6020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 · 𝑏) = ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
10	9	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 ⊢ ( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝑎 · 𝑏)
11	10	eleq1i 2297	. . . . . . 7 ⊢ (( · ‘⟨𝑎, 𝑏⟩) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
12	8, 11	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵))
13	12	ralxp 4873	. . . . 5 ⊢ (∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑎 · 𝑏) ∈ 𝐵)
14	6, 13	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵)
16		fnfvrnss 5807	. . 3 ⊢ (( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 × 𝐵)( · ‘𝑐) ∈ 𝐵) → ran · ⊆ 𝐵)
17	1, 15, 16	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → ran · ⊆ 𝐵)
18		df-f 5330	. 2 ⊢ ( · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ ( · Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ran · ⊆ 𝐵))
19	1, 17, 18	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ · Fn (𝐵 × 𝐵)) → · :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  ⟨cop 3672   × cxp 4723  ran crn 4726   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  ._rcmulr 13160  SRingcsrg 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mgp 13933  df-srg 13976

This theorem is referenced by: (None)