ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srgfcl GIF version

Theorem srgfcl 13161
Description: Functionality of the multiplication operation of a ring. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
srgfcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgfcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
srgfcl ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ยท :(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต)

Proof of Theorem srgfcl
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ยท Fn (๐ต ร— ๐ต))
2 srgfcl.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
3 srgfcl.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
42, 3srgcl 13158 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
543expb 1204 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
65ralrimivva 2559 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
7 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โ†’ ( ยท โ€˜๐‘) = ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ))
87eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โ†’ (( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ) โˆˆ ๐ต))
9 df-ov 5880 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž ยท ๐‘) = ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ)
109eqcomi 2181 . . . . . . . 8 ( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ) = (๐‘Ž ยท ๐‘)
1110eleq1i 2243 . . . . . . 7 (( ยท โ€˜โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
128, 11bitrdi 196 . . . . . 6 (๐‘ = โŸจ๐‘Ž, ๐‘โŸฉ โ†’ (( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต))
1312ralxp 4772 . . . . 5 (โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ต (๐‘Ž ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
146, 13sylibr 134 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
1514adantr 276 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
16 fnfvrnss 5678 . . 3 (( ยท Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)( ยท โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ ran ยท โŠ† ๐ต)
171, 15, 16syl2anc 411 . 2 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ran ยท โŠ† ๐ต)
18 df-f 5222 . 2 ( ยท :(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต โ†” ( ยท Fn (๐ต ร— ๐ต) โˆง ran ยท โŠ† ๐ต))
191, 17, 18sylanbrc 417 1 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ยท Fn (๐ต ร— ๐ต)) โ†’ ยท :(๐ต ร— ๐ต)โŸถ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455   โŠ† wss 3131  โŸจcop 3597   ร— cxp 4626  ran crn 4629   Fn wfn 5213  โŸถwf 5214  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  .rcmulr 12539  SRingcsrg 13151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-srg 13152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator