Theorem srglmhm 13922

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13896	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 13899	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1208	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 5763	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	4, 10, 5	srgdi 13903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
12	9, 11	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
13	12	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
14		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
15		oveq2 5982	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
16	4, 10	srgacl 13911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ SRing)
20		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	4, 5	srgcl 13899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) ∈ 𝐵)
22	19, 20, 18, 21	syl3anc 1252	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) ∈ 𝐵)
23	14, 15, 18, 22	fvmptd3 5701	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
24		oveq2 5982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑎))
25		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
26	4, 5	srgcl 13899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑎) ∈ 𝐵)
27	19, 20, 25, 26	syl3anc 1252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑎) ∈ 𝐵)
28	14, 24, 25, 27	fvmptd3 5701	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
29		oveq2 5982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑏))
30		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
31	4, 5	srgcl 13899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝐵)
32	19, 20, 30, 31	syl3anc 1252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝐵)
33	14, 29, 30, 32	fvmptd3 5701	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
34	28, 33	oveq12d 5992	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
35	13, 23, 34	3eqtr4d 2252	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
36	35	ralrimivva 2592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
37		oveq2 5982	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
38		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
39	4, 38	srg0cl 13906	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
41	4, 5	srgcl 13899	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
42	40, 41	mpd3an3 1353	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
43	14, 37, 40, 42	fvmptd3 5701	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
44	4, 5, 38	srgrz 13913	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
45	43, 44	eqtrd 2242	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
46	8, 36, 45	3jca 1182	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
47	4, 4, 10, 10, 38, 38	ismhm 13460	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
48	3, 46, 47	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488   ↦ cmpt 4124  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077  0_gc0g 13255  Mndcmnd 13415   MndHom cmhm 13456  SRingcsrg 13892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-cmn 13789  df-mgp 13850  df-srg 13893

This theorem is referenced by: (None)