Theorem srglmhm 13830

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srglmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srglmhm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srglmhm	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Proof of Theorem srglmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 13804	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1, 1	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd))
4		srglmhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		srglmhm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	srgcl 13807	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	fmpttd 5748	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
9		3anass 985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
10		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	4, 10, 5	srgdi 13811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
12	9, 11	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
13	12	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
14		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
15		oveq2 5965	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
16	4, 10	srgacl 13819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
17	16	3expb 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
18	17	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵)
19		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ SRing)
20		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	4, 5	srgcl 13807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) ∈ 𝐵)
22	19, 20, 18, 21	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) ∈ 𝐵)
23	14, 15, 18, 22	fvmptd3 5686	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝑋 · (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)))
24		oveq2 5965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑎))
25		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
26	4, 5	srgcl 13807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑎) ∈ 𝐵)
27	19, 20, 25, 26	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑎) ∈ 𝐵)
28	14, 24, 25, 27	fvmptd3 5686	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
29		oveq2 5965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑏))
30		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
31	4, 5	srgcl 13807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝐵)
32	19, 20, 30, 31	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝐵)
33	14, 29, 30, 32	fvmptd3 5686	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
34	28, 33	oveq12d 5975	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑏)))
35	13, 23, 34	3eqtr4d 2249	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
36	35	ralrimivva 2589	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)))
37		oveq2 5965	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑅) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
38		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
39	4, 38	srg0cl 13814	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
41	4, 5	srgcl 13807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
42	40, 41	mpd3an3 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) ∈ 𝐵)
43	14, 37, 40, 42	fvmptd3 5686	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
44	4, 5, 38	srgrz 13821	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
45	43, 44	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
46	8, 36, 45	3jca 1180	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
47	4, 4, 10, 10, 38, 38	ismhm 13368	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑎)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑏)) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))))
48	3, 46, 47	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ↦ cmpt 4113  ⟶wf 5276  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  0_gc0g 13163  Mndcmnd 13323   MndHom cmhm 13364  SRingcsrg 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-mhm 13366  df-cmn 13697  df-mgp 13758  df-srg 13801

This theorem is referenced by: (None)