Theorem lsslsp 14061

Description: Spans in submodules correspond to spans in the containing module. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.) Terms in the equation were swapped as proposed by NM on 15-Mar-2015. (Revised by AV, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslsp.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslsp.m	⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
lsslsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
lsslsp.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsslsp	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Proof of Theorem lsslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslsp.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslsp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 14012	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ LMod)
4	3	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑋 ∈ LMod)
5		simp1 999	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
6		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ 𝑈)
7		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8	7, 2	lssssg 13992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
9	8	3adant3 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
10	6, 9	sstrd 3194	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊))
11		lsslsp.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (LSpan‘𝑊)
12	7, 2, 11	lspcl 14023	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
13	5, 10, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿)
14	2, 11	lspssp 14035	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)
15		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
16	1, 2, 15	lsslss 14013	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
17	16	3adant3 1019	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑀‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑀‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
18	13, 14, 17	mpbir2and 946	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
19	7, 11	lspssid 14032	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
20	5, 10, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺))
21		lsslsp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑋)
22	15, 21	lspssp 14035	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ 𝐺 ⊆ (𝑀‘𝐺)) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
23	4, 18, 20, 22	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ⊆ (𝑀‘𝐺))
24	1	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈))
25		eqidd 2197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
26	24, 25, 5, 9	ressbas2d 12771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
27	6, 26	sseqtrd 3222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋))
28		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
29	28, 15, 21	lspcl 14023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
30	4, 27, 29	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋))
31	1, 2, 15	lsslss 14013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
32	31	3adant3 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑋) ↔ ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈)))
33	30, 32	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → ((𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ (𝑁‘𝐺) ⊆ 𝑈))
34	33	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿)
35	28, 21	lspssid 14032	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝑋)) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
36	4, 27, 35	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺))
37	2, 11	lspssp 14035	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐺) ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ (𝑁‘𝐺)) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
38	5, 34, 36, 37	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑀‘𝐺) ⊆ (𝑁‘𝐺))
39	23, 38	eqssd 3201	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝐺 ⊆ 𝑈) → (𝑁‘𝐺) = (𝑀‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703   ↾_s cress 12704  LModclmod 13919  LSubSpclss 13984  LSpanclspn 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-subg 13376  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-lsp 14019

This theorem is referenced by:  lss0v  14062