ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subrgugrp GIF version

Theorem subrgugrp 13299
Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrgugrp.2 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
subrgugrp.3 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
subrgugrp.4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgugrp (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . . 4 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
2 subrgugrp.2 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 subrgugrp.3 . . . 4 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
41, 2, 3subrguss 13295 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
5 subrgrcl 13285 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
62a1i 9 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
7 subrgugrp.4 . . . . . 6 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
87a1i 9 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
9 ringsrg 13155 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
106, 8, 9unitgrpbasd 13215 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΊ))
115, 10syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΊ))
124, 11sseqtrd 3193 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
131subrgring 13283 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
14 eqid 2177 . . . 4 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
153, 141unit 13207 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉)
16 elex2 2753 . . 3 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉)
1713, 15, 163syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉)
18 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
191, 18ressmulrg 12595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
205, 19mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
21203ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
2221oveqd 5889 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦))
23 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
243, 23unitmulcl 13213 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
2513, 24syl3an1 1271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
2622, 25eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
27263expa 1203 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
2827ralrimiva 2550 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
29 eqid 2177 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
30 eqid 2177 . . . . . . 7 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
311, 29, 3, 30subrginv 13296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
323, 30unitinvcl 13223 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
3313, 32sylan 283 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
3431, 33eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
3528, 34jca 306 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
3635ralrimiva 2550 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
37 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
3837, 18mgpplusgg 13065 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)))
39 basfn 12512 . . . . . . . . . . . 12 Base Fn V
40 elex 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
41 funfvex 5531 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
4241funfni 5315 . . . . . . . . . . . 12 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
4339, 40, 42sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
44 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
4544, 6, 9unitssd 13209 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
4643, 45ssexd 4142 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ V)
4737ringmgp 13116 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
488, 38, 46, 47ressplusgd 12579 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ))
495, 48syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ))
5049oveqd 5889 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
5150eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ↔ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑉))
5251ralbidv 2477 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑉))
532a1i 9 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
547a1i 9 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
55 eqidd 2178 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…))
5653, 54, 55, 5invrfvald 13222 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜πΊ))
5756fveq1d 5516 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
5857eleq1d 2246 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉 ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
5952, 58anbi12d 473 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)))
6059ralbidv 2477 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)))
6136, 60mpbid 147 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
622, 7unitgrp 13216 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
63 eqid 2177 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
64 eqid 2177 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
65 eqid 2177 . . . 4 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
6663, 64, 65issubg2m 12980 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
675, 62, 663syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
6812, 17, 61, 67mpbir3and 1180 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129   Fn wfn 5210  β€˜cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454   β†Ύs cress 12455  +gcplusg 12528  .rcmulr 12529  Mndcmnd 12749  Grpcgrp 12809  invgcminusg 12810  SubGrpcsubg 12958  mulGrpcmgp 13061  1rcur 13073  Ringcrg 13110  Unitcui 13187  invrcinvr 13220  SubRingcsubrg 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-tpos 6243  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-iress 12462  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-subg 12961  df-cmn 13021  df-abl 13022  df-mgp 13062  df-ur 13074  df-srg 13078  df-ring 13112  df-oppr 13171  df-dvdsr 13189  df-unit 13190  df-invr 13221  df-subrg 13278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator